非线性振荡器（二阶非线性常微分方程）的初值问题和稳态问题

发表于 2019-1-21 20:26

振荡器的本质是个非线性系统，对于弱非线性振荡器其可以产生近似正弦波的周期信号，而对于强非线性振荡器则其所产生的周期信号与正弦波差异很大（含丰富的谐波成分）。

由于振荡器的这种非线性本质，使得其分析和综合设计相对于通常的线性系统来说要复杂的多。对于振荡器的分析，其实就是解相应的非线性常微分方程。非线性方程一般而言没有初等函数解，所以想要定性或定量分析必然用到一系列的近似计算和分析方法。求解非线性常微分方程，可以用数值求解方法，但数值方法不会给出解得分析结果。为了能够得到非线性方程解的分析结果（特别是某些分析特性），产生了一系列的近似求解分析方法。下面给出一些常用的方法，其中包括初值问题和稳态问题的求解。

发表于 2019-1-21 20:27

先看初值问题的求解

所谓初值问题，就是求解满足初始条件的一个特定解。下面是弱非线性方程的初值问题。

发表于 2019-1-21 20:28

初值问题

发表于 2019-1-21 20:29

弱非线性方程的初值问题有很多求解方法，下面先看直接摄动法。

发表于 2019-1-21 20:30

直接摄动法

发表于 2019-1-21 20:32

摄动法（也称微扰法）是在已知一个简单问题解的基础上采用简单问题附近的“小参数”修正逐步趋近于相关实际问题（复杂问题）。摄动法的这种逐步趋近未必总是如愿，其可能会发散而不收敛。针对这种可能出现的奇异情形，发展出了若干种改进方法，下面给出其中之一。

发表于 2019-1-21 20:33

改进的方法

发表于 2019-1-21 20:35

正弦波振荡器（弱非线性系统）通常主要关注其频率、幅度和相位，下面给出一个相关的方法——平均法。

所谓平均法，就是求解出正弦波振荡器的平均幅度和平均相位随时间的变化过程。

发表于 2019-1-21 20:37

平均法

发表于 2019-1-21 20:38

初值问题是含瞬态的问题，若不考虑瞬态仅求解稳态则就是个稳态问题。下面先看谐波平衡法。

发表于 2019-1-21 20:41

谐波平衡法

发表于 2019-1-21 20:43

谐波平衡法虽然只适用于求解稳态问题，但其却没有弱非线性的限制。下面给出一个类似的稳态问题求解方法——描述函数法，这也可以看成是基波平衡法。

发表于 2019-1-21 22:06

描述函数法

发表于 2019-1-22 10:55

谢谢分享，虽然数学公式看不懂

发表于 2019-3-13 09:31

学习学习..........

发表于 2019-12-24 08:16

看不懂，数学不够。但是感觉这些方法不够用，太理想化了，实际比这要复杂。

发表于 2020-2-11 10:17

学习学习！！！！！！！！！！！！

非线性振荡器（二阶非线性常微分方程）的初值问题和稳态问题

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