有限角位移不是矢量，这个话题是从这样一个帖子引起的。
图(01)
此帖首楼，即声称“并非所有矢量加法都是满足平行四边形定律的”。
图(02)
当网友问“有的矢量加法不满足平行四边形法则？”时，回复是非常肯定的“当然有了，旋转的物体！”
力学中说到“旋转的物体”，通常是指刚体。如果是像果冻那样的弹性体，因为弹性体可以变形，弹性体内各点转动的角度不一样，就谈不到转动的角度。
在现代，无论是哪个版本的普通物理学，都会讲到刚体的定轴转动，并用“角位移”来描述刚体定轴转动时所转过的角度。图(03)是从江守洙等《普通物理学》第一册176页截取的一段，里面明确提到对定轴转动的刚体内任意点角位移都是相同的。这段还明确提到对定轴转动的刚体内任意点不仅角位移相同，角速度和角加速度也都相同。
图(03) 刚体的定轴转动 程守洙等《普通物理学》第五版第一册176页
但是，该书177页明确地说“角速度”是个矢量，却没有说“角位移”是矢量，见图(04)。
图(04) 刚体的定轴转动 程守洙等《普通物理学》第五版第一册177页
问题可就来了：标题中说有限角位移不是矢量，书上说角速度是矢量。角速度是角位移对时间的一阶导数。一个不是矢量的量，怎么能够对时间求导之后就成了矢量了？
我们先说说有限角位移不是矢量。
位移是矢量，这毫无疑问。位移这个矢量满足交换律。图(05)中，平面上一个点从O处先向右移动4米到达A处，再从A处直角左转移动3米到达B处。另一次移动中则从O处先向上移动3米到达C处，再从C处直角右转移动4米到达D处。从欧几里德几何学的知识，我们相信B点和D点是同一点。交换顺序而结果相同，显然，在这个问题里面，位移矢量满足交换律。
图(05)
矢量必须满足交换律，不满足交换律的就不能称为矢量。
但是，刚体的转动就不满足交换律，见图(06)和图(07)。
图(06)
图(06)是一个长方体，先绕Y轴旋转90°，再绕Z轴旋转90°。
图(07)
图(07)则是同一个长方体，先绕Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°。
两次旋转，交换顺序，结果不同，可见物体的转动(角位移)不满足交换律。既然不满足交换律，物体的转动(角位移)不是矢量。
既然角位移不是矢量，那么图(04)为什么又说角速度是矢量呢？角速度是角位移对时间的导数，一个不是矢量的量，求导后怎么能够成为矢量？
角位移不是矢量，是指有限角位移，例如图(06)和图(07)里面物体转动都是90°，是有限角位移。但是，无穷小角位移却是矢量。
图(08)
为了说明有限角位移不是矢量，无穷小角位移是矢量，我们先建立一个球面座标系，如图(08)。也为了说明方便，我们把这个球面座标系看成地球，并采用地理上的说法。一个点在球面上的运动，可以看成这个固定座标系下一个刚体球绕球心的转动。
图(09)
令φ和 ψ表示互相垂直的两个角位移。我们先让φ和 ψ大一些，表示转动90°。
第一次，从0°经线(本初子午线)和0°纬线(赤道)相交处开始，一个点先沿赤道向东运动，对球心的角位移φ为90°，到达东经90°处的A点。再直角向左，对球心的角位移ψ为90°，最后到达北极处，终点为B点。如图(09)。
图(10)
第二次，仍从0°经线(本初子午线)和0°纬线(赤道)相交处开始，一个点先沿本初子午线向北运动，对球心的角位移ψ为90°，到达北极处的C点。再直角向右，沿东经90°线，对球心的角位移φ为90°，最后到达东经90°线与赤道交点D。如图(10)。
互相交换顺序的两次转动结果，B点和D点，一个在赤道，一个在北极，相距很远。所以，对球心90°的角位移不满足交换律，肯定不是矢量。
图(11)
图(09)和图(10)毕竟是相当大的角位移，涵盖了整整一个卦限。我们再来看看比较小的对球心的角位移。
仍然是从0°经线和0°纬线相交处开始，令φ为对球心20°的角位移，ψ为对球心15°的角位移。
第一次，先φ后ψ，运动点先沿赤道向东，对球心角位移20°到达A点，然后直角向左，对球心角位移15°到达B点。显然，B点就是北纬15°线与东经20°线的交点。如图(11)。
图(12)
第二次，先ψ后φ，运动点先沿0°经线向北，对球心角位移15°到达C点，然后直角向右，对球心角位移20°到达D点。如图(12)。
注意，和第一次不一样，运动点达C点后直角向右，并不是沿北纬15°线移动，其移动的轨迹是在一个大圆上，该大圆过东经90°线和西经90°线与赤道的交点，并在0°经线上与北纬15°线相切，在180°经线上与南纬15°线相切，如图(12)中绿色虚线所示。
既然运动点是沿这个大圆移动，可以推断D点一定在北纬15°线之南。既然北纬15°线总长度比赤道短，可以推断D点一定在东经20°线以东。也就是说，D点在B点东南。D点和B点并不重合。角位移φ和ψ小了，但还不满足交换律，不是矢量。
但是我们看到，相比图(09)和图(10)中B点和D点一个在北极一个在赤道的90°角距离，图(12)中B点和D点之间的角距离可是小得太多了。
我们不妨想像一下：φ和ψ从90°减小到15°和20°，B点和D点之间的角距离就减小了这么多。那要是φ和ψ减小到2°和3°，或是减小到0.2°和0.3°，又会如何？显然，直观地看，φ和ψ越小，B点和D点之间的角距离就越小，而且比φ和ψ减小得更快。φ和ψ越小，两个角位移交换顺序所包围的那一小块球面(并不是封闭的)越接近于一个平面。
利用球面三角知识，图(12)中B点和D点之间对球心的角距离θ是可以根据φ和ψ计算出来的。换句话说，我们可以根据球面三角知识写出θ随φ和ψ变化的函数。
我们已经看到，θ是随φ和ψ的减小而急剧减小。利用球面三角知识写出θ随φ和ψ变化的函数后，可以证明：当φ和ψ趋于0时θ也趋于0，而且θ比φ和ψ更快地趋于0，换句话说，θ是φ和ψ的高阶无穷小。
既然φ和ψ交换顺序的结果θ在φ和ψ趋于0时是个高阶无穷小，那么我们就可以说：φ和ψ趋于0时满足交换律。
根据同样的推导过程，我们还可以推导出：有限角位移不满足结合律，但无穷小角位移满足结合律。
所以，有限角位移不是矢量，因为有限角位移不满足交换律。但无穷小角位移是矢量，因为无穷小角位移满足交换律和结合律。
既然无穷小角位移是矢量，那么角速度是矢量就是自然而然的了，因为角速度正是角位移对时间的一阶导数。
普通物理课程通常不会讲到有限角位移不是矢量，因为普通物理只讲刚体的定轴运动，不会讲到刚体的定点运动。而刚体的定轴运动，角速度矢量实际上只会沿转动轴，只有正反两个方向，因为定轴运动的转动轴方向是不变的。而刚体的定点运动则瞬时转动轴方向可能随时变化。这种瞬时转动轴方向随时变化的情况，就必须说明有限角位移不是矢量，无穷小角位移才遵循交换律和结合律，是矢量。
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