计算机如何处理浮点数2007-04-30 14:53■ 现实生活中的小数数学中的小数，又称为实数。一般用十进制表示例如： 3.14159265( c" u u$ C! i5 p8 l" x/ O$ U% Q
■ 科学计算法1 F* ]: G. k( J' |
数学中的科学计算法许多种表示法3.14159265 = 0.314159265 × 1019 y! A% `& |! v S+ ?# Z
■ 计算机中浮点数的表示; Y$ x6 v. x+ C# [
在计算机中的使用科学计数法是一种“规格化计数法”。
1 I& k" |7 w6 m3 W● 规格化计数法用科学计数法表示实数时，如果最左边的第一个数字不是0，则被称为“规格化计数法”0.1 × 10-2 不是规格化计数法1.0 × 10-3 则是规格化计数法 ● IEEE 754 标准IEEE 754 标准成立于1985年，80年代起所有的计算机系统均支持IEEE 754IEEE 754 对浮点数在计算机表示方法有三个主要的规定： 对于单精度（single precision）：单精度浮点数位长：32位
, a* l# G; g) `7 K+ w（1） IEEE 754 标准规定：第1位为符号位，1 代表负，0代表正（2） 接下来用8位来表示指数部分。（3） 接下来的23位用来表示有效数位4 f l, D+ S4 j& q& [- q
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0- --------------- ---------------------------------------------S 指数（8位） 有效数位 （23 位） ★ IEEE 754 考虑到利用现有的整数比较指充，对浮点数能进行快速的比较和排序，由于指数部分大小能快速反应出浮点数的大小，所以，在符号位接下来的8位用来表示指数，有效数位的大小反应出浮点数的精度。安排在最后的23位
- W( L( {$ P: G' v4 p1 y★ 对于规格化二进制浮点示法而言，有效数位的第1位必定是1而不是0，因此，IEEE 754 规定：实际有效数位中的第1位被省去，因而，有效数位中默计含有1位。
! H) d; U" i. G★ 移码：除了将指数安排在有效数位前面，还不足以快速比较两个浮点数的大小，例如：
" V4 ]# i C: M' C0 L2 X1.0 × 2 -1 在计算机中表示为：0 11111111 00000000000000000000000这个数相当于整数的 0x7F800000
4 N0 o- G- R5 C; t/ P! }: Y1.0 × 2 1 在计算机中表示为：0 00000001 00000000000000000000000这个数相当于整数的 0x00800000. \2 z7 R6 ?; _8 s
如果用整数比较指令，比较两个数，1.0 × 2 -1 竟然比 1.0 × 2 1 还大！5 [ _( B; o( U$ a) O6 n
为了解决这个问题，IEEE 754 设计了一个方案：将指数加上一个常数 127这个常数 127 被称为“移码”（biased notation）
}- L& {1 }( m; k% W `我们再来看一看：1.0 × 2 -1 将指数： -1 + 127 = 126 后,得出以下的二进制数：0 01111110 00000000000000000000 也就是: 0x3F000000* w( z( F0 l( m2 z. i; B
1.0 × 2 1 将指数：1 + 127 = 128 后，得出以下的二进制数：0 10000000 00000000000000000000 也就是：0x40000000. i5 C* P- ?! R, t- y2 {$ n. R
这样的话，就可以得出正确结果了。
4 g7 |$ Y" s0 K- R0 U对于双精度（double precision）浮点数来说：位长64 位（1）IEEE 754 标准规定：第1位为符号位，1 代表负，0代表正。（2）接下来用11位来表示指数部分。（3）接下来的52位用来表示有效数位。
8 _5 a) Q+ t- K; z★ 双精度浮点数用52位来表示有效数位，11位表示指数位，这样提高浮点数的精度，也还提高了浮点数的取值范围。0 u9 Z0 L' z& a0 k# {% q
★ 双精度的移码为 1023
9 J& h7 r, u3 c, v8 }* A例子：1、将 -0.625 转化为计算机中的二进制数浮点数解：-0.625 = -5/8 = -5/23 = -101 × 2-3 = -1.01 × 2-1
* Q% y, a' e6 ~: K符号位：1指数位：-1 + 127 = 126 有效数位：1.01（在机器中要相应去掉默认位）% |. K7 Q9 [3 \% X# S
所以，在机器表示的二进制序列为：1 01111110 0100000000000000000000相当于整数：0xBF200000 2、将如下二进制序列用十进制浮点数表示。11000000101000000000000000000000
4 H1 { Y/ `3 ~4 B解：符号位：1 是负数指数位；10000001 = 129， 这个数要减去移码值，即：129 – 127 = 2有效数位：01000000000000000000000 这个数要加上默认1，即得：1.01
+ h, g; w; M7 K8 j" X7 a整个序列结果为：- 1.01 × 22 = -101 = -5.0
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