杂谈（4）——自洽

2万 · 2021-3-4 13:16

自洽，其实就是不能自相矛盾，自己打自己脸总不太好。

2万 · 2021-3-4 13:19

有人拿数制说事，什么

1 + 1 = 10

其实，原本就不是上面的写法。不妨看看如下形式

1[2] + 1[2] = 10[2]

其中[2]表示二进制。

显然有

1[10] + 1[10] = 2[10]

而上式通常可以默认为

1 + 1 = 2

2万 · 2021-3-4 13:21

下面来看看实数和（级数）

1 + 2 + 3 + ... = ∞

这基于实数系公理。

由于复数包含了实数，那么从复数角度看也必然是下式

1 + 2 + 3 + ... = ∞

理由是加法对于数域是封闭的，虽然上式放在了复数域的角度看，但实数累加归于实数域，所以相关实数域结论对于复数域而言未变。

显然，如果认为

1 + 2 + 3 + ... = -1/12

那么与之前的那个等式矛盾。

注意，这里的“+”和“=”就是实数系公理中涉及的东西。

2万 · 2021-3-4 13:23

下面来看看数域拓展，先引一段内容：

数域的拓展

常听说的数域有实数域和复数域，其实还有个更基本的数域——有理数域。

域，涉及到加和乘这两个运算，显然加和乘对于有理数是封闭的，即有理数经有限次加乘运算还是有理数。

由于存在下面的形式：

x x = x^2

n个x相乘

x x x ... x = x^n

这就引入了满足一定运算规则的幂指数运算，即

z = x^y

这里，首先遇到的就是y是分数的情况，譬如x=2,y=1/2，即

z = 2^(1/2)

可以证明，z不可能采用有理数形式表述，意味着幂指数运算对于有理数来说不封闭。这就是最简单的一个无理数。显然，加和乘法对于有理数和无理数的合集还是封闭的，这就是实数域。

进一步看，如果x=-1，y=1/2，即

z = (-1)^(1/2)

显然，按照幂指数运算的规则，z不可能是实数域中的数。这样就必须对数域作进一步的拓展，即复数域拓展。

复数是个二元组，表述如下

[x,y]

并且定义加法和乘法如下

[x1,y1] + [x2,y2] = [x1+x2,y1+y2]

[x1,y1][x2,y2] = [x1x2-y1y2,x1y2+x2y1]

注意下面的运算

[0,1][0,1] = [-1,0]

即可认为

[0,1]^2 = [-1,0]

也可写成

[-1,0]^(1/2) = [0,1]

下面对上述复数二元组形式作简化写法，即

[x,y] = x + iy

并对x和y为零时的情形进一步简化如下

[x,0] = x

[0,y] = iy

那么，上面的式子

[-1,0]^(1/2) = [0,1]

就简化成

(-1)^(1/2) = i

即-1开平方等于i。

摘自：https://bbs.21ic.com/icview-2493626-1-1.html?_dsign=726a0cdf

2万 · 2021-3-4 13:30

注意上面每次拓展，其拓展前有明确的域界定（可以认为是某种定义域）。对于拓展后的区域，之前绝不论及。这样，才保证了拓展前后的自洽。

譬如，有域A，拓展到B。对于B-A，拓展前是“白纸”一张。这样，在“白纸”上写东西原则上没有什么问题，只要是相对于A有个合理的衔接。但是，如若原先B-A中已经有说法，那么再在其上写东西就可能会发生矛盾（即非自洽）。

2万 · 2021-3-4 13:32

本帖最后由 HWM 于 2021-3-4 14:01 编辑

回过头来看看上面的那个级数

1 + 2 + 3 + ... = ∞

这原本就在实数域R，拓展到复数域C后其还在实数域R。居然有人说，“就用实数域的知识，来反驳复数域的知识，这是两个不同的理论体系，何来的【自洽】？？？”。

R中的命题，如果C拓展后这个命题还是R中的，那当然这也是C中的命题。

2万 · 2021-3-4 13:38

再看一个极限

lim[ω→∞]sin(ωt)

从古典函数（即常规函数）来看，这个极限是不存在的。注意，这已经有了说法。

下面给出一个函数极限趋于某个“函数”

f(t) = lim[ω→∞]sin(ωt)

这个“函数”需要引入广义函数概念的相关理论，某种意义上说这是一个拓展。但注意这个拓展前关于极限的说法，为保持一致性首先需要延续之前的说法——广义函数无具体完整的函数值。其实，深入研究发现，广义函数确实必有此性质。

所以，如果认为

f(t) = lim[ω→∞]sin(ωt) = 0

那显然是谬误（非自洽）。

2万 · 2021-3-4 13:40

最后，再说一下黎曼ζ函数。

这个函数的级数表示如下

ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... (Re{s}>1)

上面等式左边就是黎曼ζ函数，等式右边是相应的级数，注意其相等的条件Re{s}>1（收敛域）。

对于s=-1，有

1 + 2 + 3 + ... = ∞

而

ζ(-1) = -1/12

显然

ζ(-1) ≠ 1 + 2 + 3 + ...

这个自然，因为s=-1不在收敛域Re{s}>1内。

2万 · 2021-3-4 13:45

后话

可能有人见过诸如下式

“1 + 2 + 3 + ... = -1/12”

如果考虑实数系，就数学而言，这是个彻头彻尾荒谬的东西。

其实，那是在用相关函数级数的解析延拓相应值来“表征”这个数值级数。这完全可以用如下形式表示：

{1+2+3+...} = -1/12

注意前面说的“相关函数级数的解析延拓”，但实际上仅仅是个数值级数。这又导致了下面这个问题：

{1+1+1+...} = ？

这堆东西对应什么呢？

按解析延拓，可对应两个不同的函数级数分别是

1 + s + s^2 + ...

1 + 1/2^s + 1/3^s + ...

当前式s=1和后式s=0时，都是{1+1+1+...}，按解析延拓可以自己去算一下相应的值，看看是否一致？

2万 · 2021-3-4 13:47

自洽是一个理论的最低要求。如果连这个最低基本要求都不能满足，忽悠而已，毫无价值。

2万 · 2021-3-4 14:13

把4-5年前的东西，拿过来又重复一遍，一点新鲜的因素都没有。

顽固不化的死脑筋，对别人(除了你那两个粉丝)没有任何影响，唯一的影响是让自己中学生水平纹丝不动的稳定！

仅此而已！

1万 · 2021-3-4 16:15

HWM 发表于 2021-3-4 13:47
自洽是一个理论的最低要求。如果连这个最低基本要求都不能满足，忽悠而已，毫无价值。
...

看了两位大师的争论，自然数之和等于-1/12.
由于x也看b站，b站相关内容还不少。就看了一下，鉴别一下两个大师的水平。
视频内容，我总结一下：
1、某个公式产生的级数是收敛的
2、用收敛的级数的求和公式产生一个函数
3、然后将这个函数去解析延拓
4、要解析延拓有无穷多种，选择一种连续且处处可导
5、延拓后的函数值，与某些原先判定发散不收敛的级数（不在定义域不能求和），在假定收敛的情况下值是重合的。