映射
映射其实是个很直观的概念，如：阳光下人在地面上的投影、摄影、三角形的外接圆、y = x²、y' = (d/dx)y 等等。
数学上看，映射由三部分组成：原像空间（集合）X、像空间（集合）Y、规则f。表示为：
f:X→Y
其意义是X中的任一元素x（或称原像）在Y中有唯一的一个元素y（或称像）按规则f与之对应。这里有两个重点，1）“X中的任一元素x”，这意味着X中任一元素都适合规则f，即X就是规则f的定义域（记为Df，显然 Df = X）；2）“Y中有唯一的一个元素按规则f与之对应”，这意味着与原像x对应的像是唯一的，即所谓的单值性。
虽然规则f的定义域就是原像空间X，但其通过规则f映射到像空间Y中的所有元素组成的集合（称值域，记为Rf）未必就是像空间Y本身，一般为Y的子集（即Rf⊆Y）。此外，不同的原像x还可以通过规则f映射到同一个像y上，即按规则f对应于像y的原像不要求唯一。
如果对应于像y的原像x唯一（即若原像x1和x2的像是同一个y，则x1 = x2），此映射则被称为单射。如果映射的值域Rf等于像空间Y（即Rf = Y），则此映射被称为满射。若两个都成立（即既是单射又是满射），则此映射称为双射（或一一对应）。
对于单射，由于值域Rf（Rf⊆Y）中的每个像y在原像空间X中都存在唯一的原像x与之对应，显然可构造一个映射，记为：
f⁻¹:Rf→X
此映射被称为映射f:X→Y的逆映射。显然，此逆映射的定义域是Rf，值域是X（即满射）。此外，由原映射的像唯一性可知其逆映射必然是个单射，故f⁻¹:Rf→X是个双射。
单射是逆映射存在的充要条件。
如果存在两个映射
f:X→Y
g:Y→Z
并且满足Rf⊆Y（或Rf⊆Dg），则可构造一个映射g•f，表示为
g•f:X→Z
其意义是X中任一元素x先根据规则f映射到Y中的元素y，然后再根据规则g（由Rf⊆Dg确保y∈Dg）将y映射到Z中的元素z。映射g•f:X→Z被称为映射f:X→Y和g:Y→Z的复合映射。
至此，回过头来看几个实例：
一，摄影
摄影是通过摄影器材按一定的规律将现实世界中的某三维实体映射到胶片或电子图像传感器上形成二维图像。显然，摄影作为映射其非单射。此外由于道德和法律的约束其像空间不能是随意的，所以摄影的原像空间（定义域）也必然受到约束。如果你不顾这些约束在任何场合随意拍摄，其结果可能是小则被痛揍一顿而大则将遭牢狱之灾。
二，函数
y = f(x) = sin(x)
z = g(y) = √y
显然，这是个复合函数（√sin(x)）。由于Dg = {y|y≥0}，所以必须有Rf = Dg ∩ {y|-1≤y≤1} = {y|0≤y≤1}。由此可知复合函数z = g•f(x) = √sin(x)的定义域为Dgf ={x|2kπ≤x≤(2k + 1)π,k∈N} = X。可将其表示为
g•f:X→R
其中R为实数域，而g•f的值域是Rgf = {z|0≤z≤1}⊂R。
三，函数
y = f(x) = x² (x≥0)
这个函数可表示为
f:X→R
其中X = Df = {x|x≥0}，而且Rf = {y|y≥0}⊂R。一般而言，有x = ±√y，但因为有x≥0的定义域限制显然此映射是个单射，所以存在逆映射 |
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