对极几何

1万 · 2022-12-14 09:26

对极几何是多视角立体视觉的核心

是一个运动的相机在两个不同位置的成像，其中：

左右两个平行四边形分别是相机在不同位置的成像平面 C0, C1分别是两个位置中相机的光心，也就是针孔相机模型中的针孔 P是空间中的一个三维点，p0, p1分别是P点在不同成像平面上对应的像素点

1万 · 2022-12-14 09:31

如果将点P沿着C0-p0所在的直线移动，你会发现P在左边相机的成像一直不变，都是p0，这时候P在右边相机的成像点p1是一直在变化的

1万 · 2022-12-14 09:33

C0-C1-P-p0-p1他们都是在同一个平面上的，你可以想象C0-C1-P组成的平面是一个三角尺，它所在的平面称之为极平面（epipolar plane），它像一把锋利的刀，切割了左右两个成像平面

1万 · 2022-12-14 09:35

和成像平面相交的直线称之为极线（epipolar line），两个光心C0, C1的连线和成像平面的交点叫做极点（epipole）。

1万 · 2022-12-14 09:42

复习：×乘
叉乘只在三维空间中有定义，比如两个向量 a和b 的叉乘写作 a x b，它是与向量 a, b都垂直的向量，其方向通过右手定则决定。

点乘： a * b = ||a||* ||b|| *cos(θ)可以得到下图结果：

1万 · 2022-12-14 09:43

假设一个归一化的图像平面，该平面上焦距f =1 ，因此我们可以定义p2在以C0为原点的坐标系下：

1万 · 2022-12-14 09:44

以C1为原点的坐标系下p1:

1万 · 2022-12-14 09:46

本帖最后由 keer_zu 于 2022-12-14 09:47 编辑

你在C0-C1-p0-p1组成的极平面上，保证

的方向不变，在极平面上随便移动，上面等式都成立。

1万 · 2022-12-14 09:48

同理，对于

方向不变，在极平面上随便移动，等式仍然成立

1万 · 2022-12-14 09:57

=>

这里：
向量C0-p0就可以用p0表示（以C0为原点）向量C0-C1就是光心C1相对于C0的平移，即为t向量C1-p1可以用 Rp1 来表示（其中R为从C1坐标系到C0坐标系的旋转矩阵，Rp1 就是p1 在以C0为原点的坐标）

1万 · 2022-12-14 10:00

把中间的部分拿出来，像下面这样，记为本质矩阵或本征矩阵（Essential Matrix）：

就得到了如下的结论

1万 · 2022-12-14 10:06

p在直线l上的充分必要条件就是直线l 的系数与p的齐次坐标p’的内积为0：

同理，对于：

把Ep1看做是直线的方程，p0看做是直线上的点，也就是说Ep1就是以C0为原点坐标系中的极线了。如下图中红色线条所示，就是极线啦，它的方程是E*p1：