BCS理论与超导（论文学习）

1万 · 2023-8-2 15:35

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BCS Theory and Superconductivity（BCS理论与超导）
超导现象是由Onnes在1911年发现的(9)，是某些材料在特定的磁性和温度条件下所表现出的量子现象。从超导被发现到20世纪50年代，并没有一致的微观理论来描述为什么超导会出现，只有宏观理论允许你计算某些热力学和电动力学的量。1957年，Bardeen、Cooper和Schrieffer发表的两篇论文(1)(2)描述了常规超导的概念和数学基础，即Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS)理论，他们后来因此获得了1972年的诺贝尔奖。我们将在发现BCS理论之前查看超导体的特征，并检查用于发展该理论的假设和方法。然后，我们将计算和研究超导系统的有趣量，最后描述BCS理论预测的结果如何与关于超导体的实验证据相比较。

1万 · 2023-8-2 15:42

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2. BCS理论出现之前

2.1超导的各个方面

当他观察到固体汞在4.2 K时电阻突然下降时，他发现了超导性。在特定的转变温度Tc下，所有超导体的电阻都会逐渐或突然下降。无限导电性意味着，如果电流在材料的超导阶段通过，电流将***持续下去，没有任何损耗。后来Meissner和Ochsenfeld(8)发现的另一个特征是，所有超导体都是反磁体。当外部磁场只穿透有限数量的材料，并且不妨碍材料的其余内部部分时，就会发生抗磁性。与材料的宽度相比，穿透深度通常很小。也被称为迈斯纳效应，这一事件也表明，一个特定的磁场会破坏材料的超导性。
麦克斯韦和雷诺兹发现的同位素效应描述了Tc与超导体同位素质量之间的关系(7)(11)。这一信息是基于对天然存在的汞及其同位素的实验，观察到Tc随着同位素质量的增加而减少。这允许假设超导的基础依赖于电子-声子相互作用，这一假设后来导致了BCS理论的形成。

2.2寻找微观理论

因为在物理界预测超导现象之前，就已经在材料中发现了超导现象，所以形成了一些理论，试图解释、匹配和预测这些经历相变的材料的特性。伦敦和伦敦对超导性很感兴趣，但没有试图描述它的原因。相反，他们推导出了超导体穿透深度λ的方程(4)，但他们的结果始终高估了实验发现的值，因此他们的假设被抛弃了。
1950年(6)提出的金兹堡-朗道理论是一种利用物理直觉和量子力学变分原理的现象学理论。如果假设相变是二阶的，就可以计算材料在超导状态下的宏观量。他的结果能够准确地与当时的实验结果相吻合，后来被证明是BCS理论的一种特殊形式。虽然它对宏观量有用且准确，就像伦敦-伦敦实验一样，但它并没有解释这些材料中超导性的基础。

1万 · 2023-8-2 15:56

3.BCS理论基础

在本节中，我们阐述了BCS理论的理论基础。所有的推导都可以参考巴丁、库珀和施里弗的《超导理论》或廷汉姆的《超导导论》。
（ “Theory of Superconductivity” by Bardeen, Cooper, and Schrieffer or Tinkham’s Introduction to Superconductivity.）

3.1库珀对

BCS理论依赖于这样的假设:当有吸引力的库珀对相互作用超过排斥性的库仑力(2)时，超导性就会产生。库珀对是由声子相互作用介导的弱电子-电子束缚对。虽然有些模棱两可，但可以通过以下解释直观地看到这种配对。想象一个电子在物质中运动。电子和材料中带正电荷的离子核之间的库仑引力会在附近留下一个净正电荷。“配对”电子是具有相**量和自旋的电子，它们被这种力所吸引。

这种启发式的解释在某种程度上是不完整的，因为声子介导的相互作用的核心是远距离吸引，因此需要量子力学来全面解释。Cooper在1956年的里程碑式的工作表明，由于电子的费米统计，这种配对的

态的能量可以小于材料的费米能量(3)。因此，在足够低的温度下，当热能不是一个因素时，可以形成束缚

态。

对于这一事实，我们给出一个简短的、简化的论证。[backcolor=rgba(255, 228, 181, 0.7)]假设我们有两个电子，在T = 0时，在费米海背景下，与吸引的库珀力相互作用，这些电子只通过泡利不相容相互作用。我们寻找一个零动量波函数，形式为:

反对称要求gk = g−k。将其代入薛定谔方程HΨ = EΨ，得到以下条件:

其中

，现在做如下的平均场近似:

其中

是费米能量ωc是截止频率。这表明我们只考虑金属频率范围内允许的相互作用，类似于Debeye模型中的假设。然后我们有:

简化：

因为

因此，这对的能量满足：

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3.2模型

现在我们继续写下这个理论的模型哈密顿量。这在二次量化的语言中是最容易做到的。设ckσ和c†kσ为动量k和自旋σ =↑或↓的电子湮灭和创造算符。通常的对易关系是:

并且：

所提出的哈密顿量被认为是

第一项通常是电子的动能。第二项是将声子介导的电子-电子相互作用转化为这个框架。矩阵元素Vkk0可以看作是一般的，但是我们将在后面的计算中使用前面提到的平均场近似来简化它。

现在，在正常状态下，我们预计不会形成库珀对，因此运算符ck↑c−k↓的平均值应该为零。那么，定义量就很自然了：

所谓的间隙能定义为：

为了允许粒子交换，考虑新的哈密顿量H = H0 +µN是有意义的，其中µ是化学势。哈密顿量可以用Bogoliubov方法对角化。我们定义了

k0和

k1的线性变换

使得

。在实践中，我们可以让uk或vk中的一个为实。为了完成诊断，我们在这个基础上看一下哈密顿量:

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图1:超导状态(上)和正常状态(下)之间的能隙产生了系统的序参量。

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我们通过要求

和

的系数来确定u和v项。这个等价于：

其中：

由此可见，间隙能量∆k是该相互作用理论的阶参量，如图1所示。

该图还用序参量表明，超导态与正常态不同，仍然有大于零的能量，没有动能。随着热力学量的进一步计算，这个序参量的作用将变得更加明显。

我们现在的目标是找到BCS基态。也就是说，变换后的Bogoliubov算子作用于它。如果|0>是自由基态，那么BCS基态最一般的候选者将是如下形式的波函数

对于任何σ，这个态都被

杀死，因为

。通过替换我们原来的电子算符，这表明BCS基态有这样的形式

一旦我们有了这个基态，我们就可以得到超导激发态

这类似于作用于一维简谐振子基态的升降算符。

1万 · 2023-8-2 16:26

4. 热力学计算

4.1 Tc评估

根据

和

的定义，我们有:

现在，

，因此：

在最后一步中，我们做了通常的平均场近似Vkk0 = - V。在这个近似中，我们知道∆k与k无关。因此，我们得到了这个关系：

我们知道，一般来说，

，在转变温度下，能隙∆消失，留下的关系式是:Ek = |ξk|，它与费米能量是对称的。然后,

我们计算从ξ = 0到库柏能量的积分，

从这里开始向超导过渡。注意，我们期望

是德拜频率。这是由于材料中存在声子的库珀形成的依赖性。

为了计算这个积分，我们代入

，得到，

图2:比较熵对温度的依赖关系(12)，我们可以看到超导态Ses比正常态Sen更有序。

我们可以近似地计算这个积分，

得到：

1万 · 2023-8-2 16:30

4.2熵

可以计算的热力学量是系统在不同阶段的熵。我们之前推导过，对于费米气体，在这种情况下，材料的自由电子，熵Sen与t成正比，对于超导态的费米函数

熵由

给出。

从图2可以看出，超导相比正常相更有序(12)。

1万 · 2023-8-2 16:38

5. 实验验证

这个理论提出后，人们设计了许多实验来验证超导体的预测。其中一个这样的实验测量了能隙(5)的温度依赖性，铟、锡和铅超导体如图3所示。
该理论预测在Tc附近

(a)常规超导体

（b）铝合金

图3:表明能隙与温度有关(5)。(a)铟、锡和铅可以被认为是常规超导体，因为它们的性质可以通过BCS理论预测。(b)铝偏离了BCS的预测，因此可能不被认为是传统的超导体。

利用它们的平均场近似，并假设超导体是弱耦合的。这一假设在铝超导体的情况下不成立，如图3所示，来自同一研究。

在计算超导态和正常态的热容时，系统的序参量能隙表现出来。回想一下

，因此

为：

这表明热容的不连续程度明确地依赖于阶参量∆。图4中超导铝(10)的热容最能说明这一点。注意，铝的Tc是1.163 K。

图4:超导态和正常态铝的热容对比(10)。对于正常状态，依赖关系是线性的，而对于超导状态，依赖关系是非线性的。在Tc = 1.163 K时，系统的序参量清晰可见。

1万 · 2023-8-2 16:43

6.结论

BCS提供了从微观上描述晶格和费米系统中发生的事情的能力，并已被许多实验验证。虽然我们没有解决超导系统的任何电动力学问题，但该理论确实支持并与实验结果一致。BCS理论的灵活性使得依赖于电子-声子相互作用的衍生理论成为可能。

从铝超导体上得到的数据的偏差可以看出，该理论存在缺陷。该理论只能最好地近似于传统的弱耦合超导体，而铝不能。从这一理论的发表开始，人们发现了高Tc超导体(Tc > 100k)， BCS无法解释。

许多人批评该理论无法解释逆同位素效应，即Tc与同位素质量成反比，也无法预测哪些材料是超导的。虽然该理论是一个起点，但任何偏离其假设(最明显的是弱耦合)的情况都不会得到支持，并预测出不正确的结果。虽然该理论声称理解了超导的原因，但它没有给出选择哪些材料会经历相变的程序。相反，这些结果可以指出超导系统中正在发生的新型相互作用，并使用另一种理论来解释超导的起源。

1万 · 2023-8-2 16:44

参考论文
[1] J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieffer. Microscopic Theory of Superconductivity. Phys. Rev.,106(1):162–164, Apr 1957.
[2] J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieffer. Theory of Superconductivity. Phys. Rev., 108(5):1175–1204, Dec 1957.
[3] Leon N. Cooper. Bound electron pairs in a degenerate fermi gas. Phys. Rev., 104(4):1189–1190, Nov1956.
[4] F. and H. London. Proc. Roy. Soc., (London):A149,1935.
[5] Ivar Giaever and Karl Megerle. Study of Superconductors by Electron Tunneling. Phys. Rev.,122(4):1101–1111, May 1961.
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[8] W. Meissner and R. Ochsenfeld. Naturwissenchaften, 21(787), 1933.
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[12] Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. Dover, second edition, 2004.