卡尔曼滤波（Kalman filtering）一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。
斯坦利·施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。 关于这种滤波器的论文由Swerling (1958), Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表。
数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术, Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态. 由于, 它便于计算机编程实现, 并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理, Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法, 在通信, 导航, 制导与控制等多领域得到了较好的应用.
假设你有两个传感器，测的是同一个信号。可是它们每次的读数都不太一样，怎么办？
取平均。
再假设你知道其中贵的那个传感器应该准一些，便宜的那个应该差一些。那有比取平均更好的办法吗？
加权平均。
怎么加权？假设两个传感器的误差都符合正态分布，假设你知道这两个正态分布的方差，用这两个方差值，（此处省略若干数学公式），你可以得到一个“最优”的权重。
接下来，重点来了：假设你只有一个传感器，但是你还有一个数学模型。模型可以帮你算出一个值，但也不是那么准。怎么办？
把模型算出来的值，和传感器测出的值，（就像两个传感器那样），取加权平均。
OK，最后一点说明：你的模型其实只是一个步长的，也就是说，知道x(k)，我可以求x(k+1)。问题是x(k)是多少呢？答案：x(k)就是你上一步卡尔曼滤波得到的、所谓加权平均之后的那个、对x在k时刻的最佳估计值。
于是迭代也有了。
这就是卡尔曼滤波。
在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！
卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf
简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍
（Introduction to the Kalman Filter）
为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。
假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。
由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。
现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。
就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！
下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。
3． 卡尔曼滤波器算法
（The Kalman Filter Algorithm）
在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。
首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
再加上系统的测量值：
Z(k)=H X(k)+V(k)
上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)
式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance：
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。
现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)
到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)
其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。
卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。
下面，我会用程序举一个实际运行的例子。。。
4． 简单例子
（A Simple Example）
这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。
根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出：
X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)
式子（2）可以改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)
因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)
现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。
为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。
该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。
××××××××××××××××××
附matlab下面的kalman滤波程序：
clear
N=200;
w(1)=0;
w=randn(1,N)
x(1)=0;
a=1;
for k=2:N;
x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);
end
V=randn(1,N);
q1=std(V);
Rvv=q1.^2;
q2=std(x);
Rxx=q2.^2;
q3=std(w);
Rww=q3.^2;
c=0.2;
Y=c*x+V;
p(1)=0;
s(1)=0;
for t=2:N;
p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww;
b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);
s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1));
p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);
end
t=1:N;
plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b');
浅谈卡尔曼滤波（Kalman Filter）（一）
前言
在准备着考博英语复习的过程中，为了更好的与以后读博课题进行接轨，我抽出时间学习了卡尔曼滤波。首先通过查阅相关领域的教材，理解了基本的卡尔曼滤波的原理。为了巩固理解，编写了物体运动状态定位的仿真程序。随后继续研究一些常用卡尔曼滤波的变种算法。以下便是我对卡尔曼滤波算法的理解。
一．问题的引入
为了理解卡尔曼滤波算法，收集了许多资料，其中最形象的理解方式是某位吧友以传感器的例子进行类比举例。
首先，我们抛开卡尔曼滤波问题，来考虑下最简单的传感器问题。如果我们有一个传感器A，我们知道世界上不存在绝对精确的测量，因此A的测量值一定存在误差。最理想的状态是A的测量误差很小可以忽略不计，其测量结果可以被我们直接使用。但是现实中传感器的测量结果往往不太让人满意。假设A传感器测量结果是一个连续数值，且这个数值服从以下正态分布。
XA∼N(μA,σ2A)
我们可以很容易发现，为了提高测量的质量我们可以进行多次测量然后取其平均值作为我们的最终测量结果，这样可以减少误差。假设进行两次测量，我们有以下结果。
XA1+XA22∼N(μA,σ2A2)
但是有时候我们需要一个实时的测量结果。比如测量某时间点房间的气温。对于这样的问题，重复测量并不被允许，也不可能被实现。此时可以考虑再增加一个传感器，分别进行测量。然后，从直观上讲，取两个传感器的平均值来减少总体测量的误差。但是在实际中，传感器和传感器之间的误差并非完全相同，取平均值的方法并不科学。试想，如果我们有A,B两个传感器，其中A传感器的误差较小，B传感器的误差较大，此时我们是否应该相信A更多一些呢？具体分析如下:
XA∼N(μA,σ2A)XB∼N(μB,σ2B)
不难想象最后测量结果一定是XA与XB的线性组合。且它们的系数之和必须为1。其形式如下:
X^=kXA+(1−k)XBX^∼N(kμA+(1−k)μB,k2σ2A+(1−k)2σ2B)
其中k∈[0,1]。我们只需要找到这样的一个k，k满足以上所有条件且使得的方差最小。令：
f(x)=k2σ2A+(1−k)2σ2Bddkf(k)=2kσ2A−2(1−k)σ2B=0
在极值点出可以得到：
k=σ2Bσ2A+σ2B
从而有：
X^=σ2Bσ2A+σ2BXA+σ2Aσ2A+σ2BXBX^∼N(σ2Bσ2A+σ2BμA+σ2Aσ2A+σ2BμB,σ2Aσ2Bσ2A+σ2B)
用P表示求随机变量方差的函数，将上面的式子进行调整：
P(X^)=σ2A(1−σ2Aσ2A+σ2B)
通过这种方法我们可以利用两个传感器测出一个最理想的值。但是如果此时只有一个传感器怎么办？假设我们还能知道系统的方程，就可以从数学上推断出一个值，这个值与传感器得到的值不相关。我们可以把这个计算出来的值看做一个独立的传感器，然后通过以上的方法进行计算，算出最优估计值。通俗的讲，这就是卡尔曼滤波的主要思想。但是卡尔曼滤波远远比两个传感器问题要复杂的多。下面我利用一个真实的案例来简单的讲解卡尔曼滤波算法的整个过程。
二．气温测量的案例
假设我们要研究一个房间的温度，以一分钟为时间单位。
根据我们的经验判断，这个房间的温度是恒定的。但是我们对我们自己的经验并不是完全的信任，可能存在上下几度的偏差。我们需要把这个偏差看做是高斯白噪声。另外，在房间里放置一个温度计。温度计也并非完全准确，测量值会与实际值存在一定偏差。我们把这偏差也看做是高斯白噪声。现在，我们要根据以上信息来估算出房间的实际温度。
Step 1: 假设在t−1时刻我们预测房间的温度为23度，预测的误差为3度。假设它是服从高斯分布，我们将3度视为温度标准差。
Step 2: 根据我们的经验，在没有外界干扰的情况下房间的温度将会恒定不变。于是我们预测在t时刻房间的温度为23度。但是预测本身也会存在误差。我们把这个误差看做是服从高斯分布。假设其标准差为4度。值得一提的是对于4度和3度，两个高斯分布是相互独立的。综合这两个高斯分布，通过我们的经验可以得到t时刻的气温为23度，其标准差为5度（5=32+42−−−−−−√）。
Step 3: 为了更精准的测量室内温度，我们会使用温度计去测量温度。在t时刻温度计的读数为25度。温度计的误差为4度，其服从高斯分布。
Step 4: 此时我们对t时刻的气温值有两个估计，一个是人为经验的预测，另一个是温度计测量读数。它们的误差都服从高斯分布且相互独立。那么这个问题可以被视为我们之前谈到的传感器问题。
我们将其视为两个传感器然后进行加权求得我们最终的估计值。通过一系列计算，我们最终算的房间温度为24.56度，误差为2.35度。
Step 5: 将Step 4中算出的结果作为t时刻的最终结果，重复Step 1至Step 4便可以算出以后任意时刻房间的气温。
在这个例子中我们可以发现所有的误差都是服从高斯分布，且都相互独立。这便是卡尔曼滤波的一个先决条件。有意思的是如果我们没有温度计，一切全靠人为经验进行判断，随着不断的迭代，最终我们的估计值的误差会越来越大。如果我们只有温度计不进行人为判断，我们所测量的温度***都会受到温度计误差的影响，特别是温度计误差过大时，我们测量值往往并不让人满意。但是同时参考人为估计和温度计测量，最终的估计值误差总能保持一个微妙的平衡。下面我们开始正式的讨论卡尔曼滤波。
三．卡尔曼滤波基本概念
卡尔曼滤波（Kalman filtering）一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。由于, 它便于计算机编程实现, 并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，所以它是目前应用最为广泛的滤波方法, 在通信, 导航, 制导与控制等多领域得到了较好的应用。
最简单的卡尔曼滤波模型如下：
Xt=At,t−1Xt−1+WtZt=CtXt+Vt
Xt是t时刻我们研究对象的状态向量（温度测量的案例中状态向量维度为1）。At,t−1是一个矩阵，对Xt进行线性变换。Zt是t时刻的观测向量（温度测量的案例中温度计的读数）。Zt与Xt的维度不一定要相同。在实际运用中Zt往往是Xt中能测得的部分。Ct是一个矩阵。V是服从N(0,R)的高斯白噪声，W是服从N(0,Q)的高斯白噪声。其满足：
Cov(Wi,Wj)=QδijCov(Vi,Vj)=RδijCov(Wi,Vj)=0
δij是克罗内克函数。
卡尔曼滤波的整个过程可以被描述为5个公式。
（1）状态的一步预测方程：
X^t,t−1=At,t−1X^t−1
（2）均方误差的一步预测：
Pt,t−1=At,t−1Pt−1ATt,t−1+Q
（3）滤波增益方程（权重）：
Ht=Pt,t−1CTt[CtPt,t−1CTt+R]−1
（4）滤波估计方程（T时刻的最优值）：
X^t=X^t,t−1+Ht[Zk−CkX^t,t−1]
（5）滤波均方误差更新矩阵（T时刻的最优均方误差）：
Pt=[I−HtCt]pt,t−1
在气温测量的例子中，(1)描述的是在已知t−1时刻的气温，利用认为经验预测t时刻的气温的过程。(2)表示的是通过(1)产生的新方差，即52=32+42。(3)计算的是权重，即5252+42。通过这个权重可以决定人为预测和温度计测量值的比例。(4)表示在(3)已知的情况下计算出t时刻最终的估计值。(5)根据(4)计算的估计值更新方差，以便下一次迭代使用。
(1)~(5)描述的是多维数据的计算过程。现在让我们来看下它们的具体推导过程。
对于(1)，它是基于一个前提X^t−1是Xt−1的无偏估计。该无偏估计的误差为et=X^t−1−Xt−1。此处满足et∼N(0,Pt−1)。所以对于(1)我们需要证明的是X^t,t−1是Xt的一个无偏估计。
et,t−1=X^t,t−1−Xt=At,t−1X^t−1−At,t−1Xt−1−W=At,t−1[X^t−1−Xt−1]−W
E[et,t−1]=E[At,t−1(X^t−1−Xt−1)−W]=At,t−1E[X^t−1−Xt−1]−E[W]=0
基于(1)的证明过程，我们来推导(2)。
D[et,t−1]=E[(et,t−1−E[et,t−1])(et,t−1−E[et,t−1])T]=E[(et,t−1−0)(et,t−1−0)T]=E[et,t−1eTt,t−1]=E[(At,t−1(X^t−1−Xt−1)−W)(At,t−1(X^t−1−Xt−1)−W)T]=E[At,t−1(X^t−1−Xt−1)2ATt,t−1−2At,t−1(X^t−1−Xt−1)WT+WWT]=At,t−1E[(X^t−1−Xt−1)2]ATt,t−1−2At,t−1E(X^t−1−Xt−1)WT+E[WWT]=At,t−1Pt−1ATt,t−1+Q
对于(3)(4)两个式子，它们关系紧密，因此我们一起进行证明。
首先我们可以设想对于我们最后的估计结果X^t一定是一个关于观测向量Zt与t−1时刻估计值X^t−1的线性方差。因此我们写成如下形式：
X^t=aX^t−1+bZt
进一步有:
X^t=aX^t−1+bZt=(At,t−1−bCtAt,t−1)X^t−1+bZt=At,t−1X^t−1+b(Zt−CtAt,t−1X^t−1)=X^t,t−1+b(Zt−CtX^t,t−1)
对于方差有：
Pt=D[et]=D[X^t,t−1+b(Zt−CtX^t,t−1)−Xt]=D[(I−bCt)X^t,t−1+b(CtXt+V)−Xt]=D[(I−bCt)X^t,t−1−(I−bCt)Xt+bV]=D[(I−bCt)(X^t,t−1−Xt)+bV]=(I−bC$t)Pt,t−1(I−bCt)T+bRbT=Pt,t−1+bCtPt,t−1CTtbT−bCtPt,t−1−Pt,t−1(bCt)T+bRbT
对方差求迹有：
Tr[Pt]=Tr[Pt,t−1+bCtPt,t−1CTtbT−bCtPt,t−1−Pt,t−1(bCt)T+bRbT]=Tr[Pt,t−1]+Tr[bCtPt,t−1CTtbT]−2Tr[bCtPt,t−1]+Tr[bRbT]
∇bTr[Pt]=∇bTr[Pt,t−1]+∇bTr[bCtPt,t−1CTtbT]−2∇bTr[bCtPt,t−1]+∇bTr[bRbT]=2bCtPt,t−1CTt−2CtPt,t−1+2bR=0⇒b=CtPt,t−1(CtPt,t−1CTt+R)−1⇒Ht=Pt,t−1CTt[CtPt,t−1CTt+R]−1
最终我们可以得到：
X^t=X^t,t−1+b(Zt−CtX^t,t−1)=X^t,t−1+Ht[Zt−CtX^t,t−1]
当我们算出估计值与对应的权重后，最后带入原始公式算出最终的方差。
Pt=D[et]=D[X^t,t−1+b(Zt−CtX^t,t−1)]=Pt,t−1+bCtPt,t−1CTtbT−bCtPt,t−1−Pt,t−1(bCt)T+bRbT=Pt,t−1+(bCtPt,t−1CTt−CtPt,t−1+bR)bT−bCtPt,t−1=Pt,t−1−bCtPt,t−1=[I−HtCt]pt,t−1
至此，5个公式全部得到证明与推导。
斯坦利·施密特(Stanley Schmidt)首次实
现了卡尔曼滤波器。卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时,发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用,后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。关于这种滤波器的论文由Swerling (1958), Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表。
定义
传统的滤波方法，只能是在有用信号与噪声具有不同频带的条件下才能实现．20世纪40年代，N．维纳和A．H．柯尔莫哥罗夫把信号和噪声的统计性质引进了滤波理论，在假设信号和噪声都是平稳过程的条件下，利用最优化方法对信号真值进行估计，达到滤波目的，从而在概念上与传统的滤波方法联系起来，被称为维纳滤波。这种方法要求信号和噪声都必须是以平稳过程为条件。60年代初，卡尔曼(R．E．Kalman)和布塞(R． S．Bucy)发表了一篇重要的论文《线性滤波和预测 理论的新成果》，提出了一种新的线性滤波和预测理由论，被称之为卡尔曼滤波。特点是在线性状态空间表示的基础上对有噪声的输入和观测信号进行处理，求取系统状态或真实信号。
这种理论是在时间域上来表述的，基本的概念是：在线性系统的状态空间表示基础上，从输出和输入观测数据求系统状态的最优估计。这里所说的系统状态，是总结系统所有过去的输入和扰动对系统的作用的最小参数的集合，知道了系统的状态就能够与未来的输入与系统的扰动一起确定系统的整个行为。
卡尔曼滤波不要求信号和噪声都是平稳过程的假设条件。对于每个时刻的系统扰动和观测误差（即噪声），只要对它们的统计性质作某些适当的假定，通过对含有噪声的观测信号进行处理，就能在平均的意义上，求得误差为最小的真实信号的估计值。因此，自从卡尔曼滤波理论问世以来，在通信系统、电力系统、航空航天、环境污染控制、工业控制、雷达信号处理等许多部门都得到了应用，取得了许多成功应用的成果。例如在图像处理方面，应用卡尔曼滤波对由于某些噪声影响而造成模糊的图像进行复原。在对噪声作了某些统计性质的假定后，就可以用卡尔曼的算法以递推的方式从模糊图像中得到均方差最小的真实图像，使模糊的图像得到复原。
性质
①卡尔曼滤波是一个算法，它适用于线性、离散和有限维系统。每一个有外部变量的自回归移动平均系统(ARMAX)或可用有理传递函数表示的系统都可以转换成用状态空间表示的系统，从而能用卡尔曼滤波进行计算。
②任何一组观测数据都无助于消除x(t)的确定性。增益K(t)也同样地与观测数据无关。
③当观测数据和状态联合服从高斯分布时用卡尔曼递归公式计算得到的是高斯随机变量的条件均值和条件方差，从而卡尔曼滤波公式给出了计算状态的条件概率密度的更新过程线性最小方差估计，也就是最小方差估计。
形式
卡尔曼滤波已经有很多不同的实现，卡尔曼最初提出的形式一般称为简单卡尔曼滤波器。除此以外，还有施密特扩展滤波器、信息滤波器以及很多Bierman, Thornton 开发的平方根滤波器的变种。最常见的卡尔曼滤波器是锁相环，它在收音机、计算机和几乎任何视频或通讯设备中广泛存在。
实例
卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，对物体位置的，包含噪声的观察序列中预测出物体的坐标位置及速度。在很多工程应用(雷达、计算机视觉)中都可以找到它的身影。同时，卡尔曼滤波也是控制理论以及控制系统工程中的一个重要话题。
应用
比如，在雷达中，人们感兴趣的是跟踪目标，但目标的位置、速度、加速度的测量值往往在任何时候都有噪声。卡尔曼滤波利用目标的动态信息,设法去掉噪声的影响，得到一个关于目标位置的好的估计。这个估计可以是对当前目标位置的估计(滤波)，也可以是对于将来位置的估计(预测)，也可以是对过去位置的估计(插值或平滑)。
扩展卡尔曼滤波（EXTEND KALMAN FILTER, EKF）
扩展卡尔曼滤波器
是由kalman filter考虑时间非线性的动态系统，常应用于目标跟踪系统。
状态估计
状态估计
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。一般来说，根据观测数据对随机量进行定量推断就是估计问题，特别是对动态行为的状态估计，它能实现实时运行状态的估计和预测功能。比如对飞行器状态估计。状态估计对于了解和控制一个系统具有重要意义，所应用的方法属于统计学中的估计理论。最常用的是最小二乘估计，线性最小方差估计、最小方差估计、递推最小二乘估计等。其他如风险准则的贝叶斯估计、最大似然估计、随机逼近等方法也都有应用。
状态量
受噪声干扰的状态量是个随机量，不可能测得精确值，但可对它进行一系列观测，并依据一组观测值，按某种统计观点对它进行估计。使估计值尽可能准确地接近真实值，这就是最优估计。真实值与估计值之差称为估计误差。若估计值的数学期望与真实值相等，这种估计称为无偏估计。卡尔曼提出的递推最优估计理论，采用状态空间描述法，在算法采用递推形式，卡尔曼滤波能处理多维和非平稳的随机过程。
理论
卡尔曼滤波理论的提出，克服了威纳滤波理论的局限性使其在工程上得到了广泛的应用，尤其在控制、制导、导航、通讯等现代工程方面。
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