（全极点）低通滤波器就是仅有极点而无有限零点（存在无穷远处零点）的滤波器。
在此，考虑两类低通滤波器：1）巴特沃思滤波器，2）切比雪夫滤波器。
一，巴特沃思滤波器：
其幅频特性“标准”为
|T(jω)| = 1 / √(1 + ε^2 (ω / ωp)^(2 N))
其中 ωp 是通带边界，N 为阶数，ε 为可选常数（通常选 ε = 1）。显然当 ω = ωp 时，有
|T(jω)| = 1 / √(1 + ε^2) (ω = ωp)
设 ωs 是阻带边界且知道 |T(jωs)|，则由下式可确定阶数N
|T(jωs)| = 1 / √(1 + ε^2 (ωs / ωp)^(2 N))
另外，由下式可求得 T(S) T(-S) 的所有极点。然后将左半平面的极点归为 T(S) 就得到了 T(S) 的表达式
T(S) T(-S) = ωp^(2 N) / (ωp^(2 N) + ε^2 S^(2 N))
二，切比雪夫滤波器：
其幅频特性“标准”为
|T(jω)| = 1 / √(1 + ε^2 cos(N arccos(ω / ωp))^2) (ω < ωp)
|T(jω)| = 1 / √(1 + ε^2 cosh(N arccosh(ω / ωp))^2) (ω > ωp)
其中 ε 为可选常数，它通过下式确定了通带内的幅度纹波幅度（1 ~ 1 / √(1 + ε^2)）
|T(jω)| = 1 / √(1 + ε^2) (ω = ωp)
同样由下式可以确定阶数N
|T(jωs)| = 1 / √(1 + ε^2 cosh(N arccosh(ωs / ωp))^2)
可以证明，满足相应幅频“标准”的 T(S) 极点为
Pk = - ωp sin((2k - 1) π / (2 N)) sinh((1 / N) arcsinh(1 / ε))
+ j ωp cos((2k - 1) π / (2 N)) cosh((1 / N) arcsinh(1 / ε)) (k = 1,2,...,N)
传递函数 T(S) 有下式给定
T(S) = ωp^N / (2^(N-1) ε (S - P1) (S - P2) ... (S - PN))
三，二阶低通：
二阶低通的通式为
T(S) = K / (S^2 + (ω0 / Q) S + ω0^2)
T(jω) = K / (ω0^2 - ω^2 + j (ω0 / Q) ω)
|T(jω)| = K / √((ω0^2 - ω^2)^2 + (ω0 ω/ Q)^2)
显然，幅度峰值频率点是 ωpeak = (1 - 1 / (2 Q^2)) ω0。仅当 Q > 1 / √2 时有 ωpeak > 0，即为（二阶）切比雪夫。
四，二阶巴特沃思（令 ε = 1）：
由下式
T(S) T(-S) = ωp^4 / (ωp^4 + S^4)
求得四极点
P1 = ωp (- 1 / √2 + j / √2)
P2 = ωp (- 1 / √2 - j / √2)
P3 = ωp (+ 1 / √2 + j / √2)
P4 = ωp (+ 1 / √2 - j / √2)
取P1和P2归T(S)，得
T(S) = ωp^2 / ((S - P1) (S - P2))
= ωp^2 / (S^2 + √2 ωp S + ωp^2)
显然其 Q = 1 / √2。 |
楼主
标题置顶
标题高亮
