1.原理
因为排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次幂，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一个序列，
其中[x]为下标。
假设：
B[x],b[x]都是二进制序列,取值0或1。
M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow
(2,0)
N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow
(2,0)
pow(N,2) = M
(1) N的最高位b[n-1]可以根据M的最高位B[m-1]直接求得。
设 m 已知,因为 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <=
pow(2, m/2)
如果 m 是奇数，设m=2*k+1,
那么 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),
n-1=k, n=k+1=(m+1)/2
如果 m 是偶数，设m=2k,
那么 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),
n-1=k-1,n=k=m/2
所以b[n-1]完全由B[m-1]决定。
余数 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)
(2) N的次高位b[n-2]可以采用试探法来确定。
因为b[n-1]=1，假设b[n-2]=1，则 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2),
2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),
然后比较余数M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。这种
比较只须根据B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判断，其余低位不做比较。
若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设有效，b[n-2] =
1；
余数 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -
(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；
若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设无效，b[n-2] =
0；余数 M[2] = M[1]。
(3) 同理，可以从高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。
使用这种算法计算32位数的平方根时最多只须比较16次，而且每次比较时不必把M的各位逐
一比较，尤其是开始时比较的位数很少，所以消耗的时间远低于牛顿迭代法。
2. 实现代码
这里给出实现32位无符号整数开方得到16位无符号整数的C语言代码。
- 1.原理
- 因为排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次幂，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一个序列，
- 其中[x]为下标。
- 假设：
- B[x],b[x]都是二进制序列,取值0或1。
- M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow
- (2,0)
- N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow
- (2,0)
- pow(N,2) = M
- (1) N的最高位b[n-1]可以根据M的最高位B[m-1]直接求得。
- 设 m 已知,因为 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <=
- pow(2, m/2)
- 如果 m 是奇数，设m=2*k+1,
- 那么 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),
- n-1=k, n=k+1=(m+1)/2
- 如果 m 是偶数，设m=2k,
- 那么 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),
- n-1=k-1,n=k=m/2
- 所以b[n-1]完全由B[m-1]决定。
- 余数 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)
- (2) N的次高位b[n-2]可以采用试探法来确定。
- 因为b[n-1]=1，假设b[n-2]=1，则 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2),
- 2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),
- 然后比较余数M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。这种
- 比较只须根据B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判断，其余低位不做比较。
- 若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设有效，b[n-2] =
- 1；
- 余数 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -
- (pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；
- 若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设无效，b[n-2] =
- 0；余数 M[2] = M[1]。
- (3) 同理，可以从高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。
- 使用这种算法计算32位数的平方根时最多只须比较16次，而且每次比较时不必把M的各位逐
- 一比较，尤其是开始时比较的位数很少，所以消耗的时间远低于牛顿迭代法。
- 2. 实现代码
- 这里给出实现32位无符号整数开方得到16位无符号整数的C语言代码。
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