关于《复变函数与积分变换》

2万 · 2013-4-23 10:01

有人提到这个东西，故在此稍作简介：

《复变函数与积分变换》本质上是一门复数域上的微积分学科（《高等数学》所涉及的是实数域）。复数是复平面上的向量，构成相关的一个线性空间。在此基础上定义了乘除，便构成了数域。

由多元向量值函数的微分可知，任意的复变函数（二元向量值函数）的微分（或导数）与“方向”有关。因此，必须对复变函数附加某些限制才可能存在复数意义下的微分（或导数），此类复变函数就是有名的解析函数。

严格来说，《复变函数》所研究的是解析函数。关于解析函数有个著名的柯西-黎曼条件（C-R），即给出了判断是否为解析函数的条件。欣慰的是，初等复变函数都是解分析的。

《复变函数论》中最为出彩的是积分变换和保形映射，这些在相关领域中有非常重要的应用。下面仅简单罗列一下复变函数积分的一些性质和应用：

1）积分基本定理——柯西-古萨基本定理(或柯西积分定理)

此定理揭示了解析函数的一个深刻性质，即解析函数沿其解析区域内的任意一条围线的积分为零，亦即解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关．这给解析函数的积分带来了相当大的方便。

2）留数定理

此定理揭示了复变函数沿围线的积分与留数间的联系．从而，提供了一种计算复变函数沿围线积分的方法．

3）积分变换——傅里叶变换和拉普拉斯变换

这两个变换实质是复变函数积分，所以说是“积分变换”。其重要性不言而喻。

最后强调一点，《复变函数与积分变换》是建立在之前的《高等数学》基础上的，别以为可以“三级跳”。