求教关于抽样定理在时域和频域对应关系的问题

只看该作者 · 2013-12-4 11:43

对时域模拟信号进行频率为fs的采样抽样，在频域（f域）是把原信号的频谱以fs为周期进行周期延拓。（假设满足抽样定理）
那为什么在w域是一个以2pi为周期的周期信号呢。。？
求大神的详细解答！！

只看该作者 · 2013-12-6 22:30

本帖最后由 wf.yang 于 2013-12-6 22:45 编辑

解答这个问题，先要明确以下结论：
1）时域连续信号，频域为非周期信号；时域离散信号，频域为周期信号。
2）时域周期信号，频域为离散信号；时域非周期信号，频域为连续信号。

之后，再说离散傅里叶变换。离散傅里叶变换，是针对时域离散且为周期性的信号的，那么其频域必然是周期、离散信号。

再说，用离散傅里叶变换对连续、非周期模拟信号进行频域分析的过程：
1）离散化，即采样过程；
2）周期化，即周期严拓过程。
3）离散傅里叶变换（多应用快速傅里叶变换）
以上过程，决定了离散傅里叶变换的结果，必然是周期性的离散信号。

应用离散傅里叶变换对连续非周期性模拟信号分析的过程，可知：只要满足抽样定理，离散化过程就不会引进信号损失（信息量丢失）；周期化过程，必然引起信息量丢失，只是，所取周期越长，信息量丢失越少，这从直观观念上也是很容易理解的。

在一定的数据截取长度，即周期严拓的“周期” 条件下，为减少信息量丢失，可以在数据周期严拓之后乘以窗函数。

再说对应关系。经过采样、周期严拓之后的信号为x(n), 经过离散傅里叶变换之后为X(k). 那么k对应的频率为：k fs / N，fs为采样频率，N为数据截取长度，及周期严拓的周期。从这也可以看出，截取数据长度越长，离散傅里叶变换能够分析的频率分辨率越高，或者说，分析结果越精细。

这也是，为什么非周期性的连续信号，经过数字频谱分析变成了只有有限个频率分量的结果。本来，应该包含从直流到无穷大的所有频率。原因在于：周期严拓，使频率变为离散的；有限的数据截取长度，使频率分辨率变成了大于零的有限值。

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