复变理论的神奇特性

登录 · 发表于 2020-10-5 15:24

复变理论是在实函数基础上做的延申，但是复变量运算结果，和实变量相比，出现了许多新的特性，如果站在原来的思维模式看，这些特性是神奇的，甚至是匪夷所思的。

这就导致复变理论课本本身超薄----100多页的小册子，但是概念过于抽象，理解起来非常困难。

而复变理论是电路理论的基础，要是深入研究模电设计理论，复变理论是逃不掉，必须要用的。

复变理论很【神奇】的体现，就是长达数年的ROC之“争”，相关帖子成把抓，一抓一大把：

之所以理解不了这个ROC，主要原因满脑子都是中学实变理论的约束，根本理解不了复变理论的精华，所以这里有必要讨论一二。

登录 · 发表于 2020-10-5 15:30

本帖最后由 xukun977 于 2020-10-5 15:49 编辑

第一个神奇特性，根据泰勒展开式可知，对于某个函数，我们只需要知道这个函数在一些点Z0附近任意小的区域内的信息，于是我们就可以知道这个函数在整个收敛圆内（半径为R）的信息！！！

也就是说，落叶知秋，根据某一点信息，就能知道其它全部信息。

整个复变平面上的信息，只需要知道某一点Z0附近任意小区域内的信息就够了，请注意：即便是任意小的区域，也不需要知道这个区域内所有点的信息！！！

甚至，只需要知道任意短的一个线段上所有点的信息就够了，或者是有限个离散点的信息就足够知道全部信息了。

根据这个特性，我们可以把收敛半径画成的圆，当成圆盘状收割机，如下图：

第一步是已知Z0点信息，那么半径为R的整个圆内信息都知道了，于是在这个圆内再选一点P，以其为圆心，再把圆盘收割机放在这儿，画个半径为R的圆，于是下图中的黑色阴影区域之内的麦子可以收割掉了。

然后在以P为圆心的圆内，再选一点F，再作一个圆，把这个新区域内麦子也割了。

不断重复以上过程，就可以由一个很小的区域，不断地拓展到新的区域，于是占据的面积越来越大。最后拓展到整个平面。

学术上，把以上过程称为【解析延拓】！

所谓知道Z0点的信息，根据泰勒级数，是指各阶倒导数，知道它就能知道泰勒级数的系数了：

发表于 2020-10-5 15:40

MARK

登录 · 发表于 2020-10-5 15:56

本帖最后由 xukun977 于 2020-10-5 16:21 编辑

第二个特性，实变理论中不喜欢研究奇异点，碰到个函数f=1/(x-1)，立马标个x≠1。

但是在复变理论中，奇异点是函数得以存在并且有意义的生命线，没有奇异点，这个函数就没有了生命。

好比整个地球，如果没有奇异点，那么整个世界是光秃秃的一个平面；有了奇异点，才能有高山、深渊、悬崖峭壁，不然就没有旅游景点了。

上述思想落实到复变理论中，就是光秃秃的世界，没有奇异点，到处是一马平川，根据柯西积分定律，结果为零，这样的函数研究没有意义。

于是专注于研究有奇异点的函数，f函数没有，可以创造一个：

在z=ξ处被积函数不是正定的，于是有生命力了。

在z点附件作一任意小半径的圆(便于后面积分用），其半径为R：

被积函数在z点不是正定的，所以积分不为零。但是如果让圆的半径无限小，那么下图阴影部分的积分为零，因为不包括Z点：

又因为圆的半径无限小，而且假设函数是连续的在z点附近，那么f(ξ）无限趋近于f(z):

上面假设ξ是小圆上一点，于是积分就简单了，写成极坐标的形式：

这就轻松地推导出了重要公式---柯西积分公式，意义是知道某边界上一点的值，可以知道区域内某点复变量函数的值。

站在实变理论的角度看，这个特性也很神奇！

登录 · 发表于 2020-10-5 16:32

本帖最后由 xukun977 于 2020-10-5 16:41 编辑

第三个特性，关于保角性：

教科书上会告诉我们，幂函数失去了保角性，而且从画的图中可以看出，角度变大了n倍。

但是另一方面，幂函数是满足柯西-黎曼方程的，必然会有保角性。

于是就出现了矛盾。

要想让这两个看似不可调节的矛盾，顺利化解，必须动用哲学思维，重新考虑这个问题。

之所以失去保角性，是因为观察者的眼睛，在盯着下图中的两个线段a和b之间的夹角看造成的：

如果你两个眼盯着线段和圆弧看，并且想象者圆的半径越来越小，圆弧和线段之间保持90°角，就会发现说保角性失效是假象，实际上根本没有失效。

这个纯思维想象，是有点难度的。

发表于 2020-10-5 16:57

xukun977 发表于 2020-10-5 16:32
第三个特性，关于保角性：

教科书上会告诉我们，幂函数失去了保角性，而且从画的图中可以看出，角度变大了 ...

保角映射是很神奇，史密斯圆图是保角映射中的分式线性映射；Z变换是保角映射中的指数映射。
无穷远处的点收缩在单位园内，想想还挺有哲学意味的。

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