实数系公理——“小学”知识

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 楼主 | 2018-6-12 09:27 | 显示全部楼层 |阅读模式
一、实数公理


满足以下四个公理的集合R叫实数集,它的元素叫实数

1)加法公理

确定了一个映射“+”(加法运算)

    +:R²→R

使得R中的任意二元组(x,y)经映射规则“+”对应于R中的唯一元素z(表示为x+y),且此映射满足交换和结合律,即对于R中任何元素x、y和z,成立

    x+y = y+x
    (x+y)+z = x+(y+z)

关于加法运算,R中存在一个零元“0”,使得R中的所有元素x成立

    x+0 = 0+x = x

此外对于R中的任意元素x,存在y属于R成立

    x+y = y+x = 0

通常将此y表示成“-x”。

2)乘法公理

确定了一个映射“*”(乘法运算)

    *:R²→R

使得R中的任意二元组(x,y)经映射规则“*”对应于R中的唯一元素z(表示为x*y),且此映射满足交换和结合律,即对于R中任何元素x、y和z,成立

    x*y = y*x
    (x*y)*z = x*(y*z)

关于乘法运算,R中存在一个单位元“1”,使得R中的所有元素x成立

    x*1 = 1*x = x

此外对于R中的任意非零元素x,存在y属于R成立

    x*y = y*x = 1

通常将此y表示成“x⁻¹”。

关于加法和乘法,还要求满足分配律,即对于任何属于R的元素x,y和z成立

    (x+y)*z = x*z+y*z

到此实际上已经确立了一个代数域

3)序公理

实数集R中元素间存在关系“≤”,即对于任何属于R的元素x和y,或满足x≤y,或不满足此关系。此外,关系“≤”还需满足如下条件

  a)任何属于R的元素x满足关系x≤x。
  b)如果x≤y且y≤x,则x = y(即x和y是R中的同一元素)。
  c)如果x≤y且y≤z,则x≤z。
  d)任何属于R的元素x和y,关系x≤y和y≤x必有一个成立(若仅成立一个,则用x<y或y<x表示)。

对于R中的运算“+”和“*”,规定

若a≤b,则

    a+c ≤ b+c

若a≤b且0≤c,则

    ac ≤ bc

其中a、b和c都属于R。

满足上述条件的集合被称为线性序集

4)连续公理

如果X和Y是实数集R的两个非空子集,且X和Y中的任何元素x和y成立关系x≤y,则存在属于R的元素c对于任何属于X和Y的元素x和y成立x≤c≤y。


二、扩充实数集,引入±∞

±∞是实数集的两个扩充元素,虽然其没有具体的值定义,但有下面的关系规定其属性:

1)+∞

对于任意实数a,成立关系

    a ≤ +∞

2)-∞

对于任意实数a,成立关系

    -∞ ≤ a

显然,±∞就是线性序集的两端。集合R∪{-∞,+∞}就是扩充的实数集。


±∞的运算规定:

    a+(±∞) = (±∞)+a = ±∞        (a≠±∞)

    a*(±∞) = (±∞)*a = ±∞          (a>0)

    a*(±∞) = (±∞)*a = ∓∞           (a<0)

    a/(±∞) = 0                      (a≠±∞)

上面最后一式其实是定义了(±∞)⁻¹=0。
 楼主 | 2018-6-12 09:30 | 显示全部楼层
这里给出的公理,就是对于“小学”、“中学”和“大学”(含本硕博)乃至“院士”来说都必须遵循的最基本的理论基础。此不仅是实分析的基础,也是后续复分析乃至一切与实数系相关的所以学科的基础。

从上面给出的公理内容来看,“+”、“*”、“=”和“≤”等几乎所有涉及的概念,小学和中学都教过。其实,通俗地可以称之为“小学算术公理”,这也是小学及其老师的价值,她为后续打下了坚实的基础。
| 2018-6-12 13:24 | 显示全部楼层
简单把±∞就是线性序集的两端,或两点是有问题的。±∞是运动、极限趋近的结果。比如:∞ / ∞不一定为1. ∞ - ∞ 不一定为 0.
| 2018-6-12 13:37 | 显示全部楼层
“ 数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,到现在,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托尔的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且实际上集合论成了数学的基础,因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

对于第三次数学危机,有人认为只是数学基础的危机,与数学无关。这种看法是片面的。诚然,问题涉及数理逻辑和集合论,但它一开始就牵涉到∞集合,而现代数学如果脱离∞集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合,那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容,也有许多问题要涉及∞的方法,比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来,第三次数学危机是一次深刻的数学危机。” ———— 摘自 《数学三次危机》
 楼主 | 2018-6-12 13:47 | 显示全部楼层
xmar 发表于 2018-6-12 13:24
简单把±∞就是线性序集的两端,或两点是有问题的。±∞是运动、极限趋近的结果。比如:∞ / ∞不一定为1.  ...

“±∞就是线性序集的两端”没有问题,那是由上面这段

1)+∞

对于任意实数a,成立关系

    a ≤ +∞

2)-∞

对于任意实数a,成立关系

    -∞ ≤ a


确定的。

这里也没有规定“∞ / ∞”和“∞ - ∞”是多少。
 楼主 | 2018-6-12 13:51 | 显示全部楼层
xmar 发表于 2018-6-12 13:37
“ 数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,到现在,从整体来看,还没有解决到令人满意的程 ...

实数及其扩充系的公理不存在任何“悖论”。
| 2018-6-12 13:55 | 显示全部楼层
HWM 发表于 2018-6-12 13:47
“±∞就是线性序集的两端”没有问题,那是由上面这段

请问:

如果对于任意实数a,成立关系

    a ≤ +∞
那端点  +∞ 满不满足:+∞ ≤ +∞ ???
 楼主 | 2018-6-12 13:57 | 显示全部楼层
xmar 发表于 2018-6-12 13:55
请问:

如果对于任意实数a,成立关系

"如果对于任意实数a,成立关系

    a ≤ +∞
那端点  +∞ 满不满足:+∞ ≤ +∞ ??? "


满足。
| 2018-6-13 13:32 | 显示全部楼层
HWM 发表于 2018-6-12 13:57
"如果对于任意实数a,成立关系

    a ≤ +∞

还是没有想得通。看看下面证明 +∞ 不等于 +∞。

如果: +∞ ≤ +∞ 成立
则       +∞ = +∞ 成立
所以  +∞ - +∞=0也成立。
考虑到:a+(±∞) = (±∞)+a = ±∞        (任意实数a≠±∞)
所以任意实数a有:a = 0,这显然与实数定义矛盾。
故:  +∞ = +∞ 不成立。

一般来说 ∞ 是一过程,而非确定的端点。
 楼主 | 2018-6-13 13:55 | 显示全部楼层
xmar 发表于 2018-6-13 13:32
还是没有想得通。看看下面证明 +∞ 不等于 +∞。

如果: +∞ ≤ +∞ 成立

“±∞”不是实数集(R)中的元素,其是扩充实数集中的元素。

“±∞”不具备R中实数的某些特性,譬如这条

此外对于R中的任意元素x,存在y属于R成立

    x+y = y+x = 0


但对于关系“≤”,下式成立

    +∞ ≤ +∞
    -∞ ≤ -∞



    +∞ = +∞
    -∞ = -∞

则是显然的。

评论

xmar 2018-6-13 14:25 回复TA
从直觉上讲,∞ = ∞ 并不显然哦。学极限时知道 ∞ / ∞ 可以大于1,不一定非要等于1. 
HWM 2018-6-13 14:32 回复TA
@xmar : +∞ = +∞ 不能得出 +∞ / +∞ = 1 的结论。注意,+∞ 不是R中的元素,不具备某些性质或特性。 
| 2018-6-13 13:56 | 显示全部楼层
xmar 发表于 2018-6-13 13:32
还是没有想得通。看看下面证明 +∞ 不等于 +∞。

如果: +∞ ≤ +∞ 成立

无穷大不是一个具体的数,无穷大不能比大小
 楼主 | 2018-6-13 13:59 | 显示全部楼层
关于“±∞”的运算规则,前面有说明,必须严格按其行事。
 楼主 | 2018-6-13 14:04 | 显示全部楼层
xmar 发表于 2018-6-13 13:32
还是没有想得通。看看下面证明 +∞ 不等于 +∞。

如果: +∞ ≤ +∞ 成立


你这里

如果: +∞ ≤ +∞ 成立
则       +∞ = +∞ 成立


没问题。

但不能得出下面这个结论

所以  +∞ - +∞=0也成立。


后面的结论也是不对的。
 楼主 | 2018-6-13 14:08 | 显示全部楼层
renxiaolin 发表于 2018-6-13 13:56
无穷大不是一个具体的数,无穷大不能比大小

可以,譬如

    -∞ < +∞
| 2018-6-13 19:32 | 显示全部楼层
renxiaolin 发表于 2018-6-13 13:56
无穷大不是一个具体的数,无穷大不能比大小



他这里的说的是数学专业的<数学分析>内容,这门课强调理论,开篇要就实数做拓展深入研究。
而工科用的《高等数学》强调的是运算,一般不会涉及这些没用的东西,除非你毕业后做数学理论研究。


关于《数学分析》和《高等数学》之争,意义不大。号召废除高等数学,改学数学分析的,多是数学系的教授,他们笑话工科用的高等数学太简单的,他们搞不清工科的数学特点。而且他们自己也承认,即便是数学系的学生,能真正学会数学分析的,可能也不过两成左右。



电工不要过多研究《数学分析》,没用,也很难学懂,完备性定理是当年华罗庚那样的大神研究玩的。我们电工的侧重点是复变理论。

下图这些,扫一眼就好了。










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| 2018-6-14 09:03 | 显示全部楼层
  大学的高数在靠一次的话,估计要挂
| 2018-6-14 20:41 | 显示全部楼层
renxiaolin 发表于 2018-6-14 09:03
大学的高数在靠一次的话,估计要挂


这是《数学分析》教材上的东西,《高等数学》是不会说这些的:






大师是天下第一装       高手,一口一个【小学】知识,这论坛上没有比他还能装的了。





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| 2018-6-14 21:57 | 显示全部楼层
无穷大。

谢谢大家!

的确存在问题。

解决方法就是:把无穷大当作一个“公理”,就像欧几里德几何中的任何公理一样。

在费玛大定理的研究过程中。

本大师发现,如果不引入无穷大的概念,这个问题无解。

对于费玛大定理来说,引用无穷大的“公理”是合理的。

因为如果不引用无穷大公理,那么你需要无限次地进行“验证”,但众所周知,你不可能把无穷大的数据都验证一遍。

所以,引入无限大这个公理就是合适的。

另一个严重问题就是:如果没有无限大的公理,即使连费玛大定理的解是有限的,这个初级的结论都不可能得到。

也就是说:没有无穷大这个公理,费玛大定理将无法被证明为正整数的解的个数有限。

事实上,那个所谓的什么“磨得尔定理”也是一样。

对于那个“正式颁布的费玛大定理的证明”,没有无限大的公理,其什么都不是。

再次感谢大家!
| 2018-6-14 22:03 | 显示全部楼层
也就是说。

谢谢大家!

对于费玛大定理。

如果没有无限大的公理。

你什么也干不了。

没有任何初等的方法,能证明。

不是说前人把所有的初等方法都“穷尽”了,而是人们在无数次的失败后,直觉上不认为存在初等证明方法。

当然本大师也不是表扬学术界的“证明”有多好。

当然了,初等的证明,依然是可以存在的。

这需要解“一元3次方程”,之后用“无穷递降或递增”的方法,当然,肯定还需要很多的技巧和方法。

所谓的“模形式”可能仅仅就是一个初等的结论。

计算量非常大。

对于“广义的费玛大定理”,只要证明 A*x^3 + B*y^3 = C*z^3无正整数解即可。

再次感谢大家!
| 2018-6-14 22:09 | 显示全部楼层
数学界还停留在“无穷大”的阶段。

谢谢大家!

就感觉自己无能为力了。

然而工程技术人员早进入了,连无限大不考虑,而仅仅考虑“远大于”,就能解决现实工程问题的地步了。

那么到底谁更先进?

是连“无限大”都搞不明的数学界,还是连无限大都不考虑,紧紧考虑“远大于”的工程界?

显然,工程界更先进。

数学界为何还是搞不懂无限大?

是因为,他们不知道自己想干什么。

而工程技术人员想解决现实问题,而现实问题,使用“远大于”就足够简化“数学理论”,从而方便实用有效地解决工程问题。

再次感谢大家!
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