一、实数公理
满足以下四个公理的集合R叫实数集，它的元素叫实数。
1）加法公理
确定了一个映射“+”（加法运算）
+:R²→R
使得R中的任意二元组(x,y)经映射规则“+”对应于R中的唯一元素z（表示为x+y），且此映射满足交换和结合律，即对于R中任何元素x、y和z，成立
x+y = y+x
(x+y)+z = x+(y+z)
关于加法运算，R中存在一个零元“0”，使得R中的所有元素x成立
x+0 = 0+x = x
此外对于R中的任意元素x，存在y属于R成立
x+y = y+x = 0
通常将此y表示成“-x”。
2）乘法公理
确定了一个映射“*”（乘法运算）
*:R²→R
使得R中的任意二元组(x,y)经映射规则“*”对应于R中的唯一元素z（表示为x*y），且此映射满足交换和结合律，即对于R中任何元素x、y和z，成立
x*y = y*x
(x*y)*z = x*(y*z)
关于乘法运算，R中存在一个单位元“1”，使得R中的所有元素x成立
x*1 = 1*x = x
此外对于R中的任意非零元素x，存在y属于R成立
x*y = y*x = 1
通常将此y表示成“x⁻¹”。
关于加法和乘法，还要求满足分配律，即对于任何属于R的元素x，y和z成立
(x+y)*z = x*z+y*z
到此实际上已经确立了一个代数域。
3）序公理
实数集R中元素间存在关系“≤”，即对于任何属于R的元素x和y，或满足x≤y，或不满足此关系。此外，关系“≤”还需满足如下条件
a）任何属于R的元素x满足关系x≤x。
b）如果x≤y且y≤x，则x = y（即x和y是R中的同一元素）。
c）如果x≤y且y≤z，则x≤z。
d）任何属于R的元素x和y，关系x≤y和y≤x必有一个成立（若仅成立一个，则用x<y或y<x表示）。
对于R中的运算“+”和“*”，规定
若a≤b，则
a+c ≤ b+c
若a≤b且0≤c，则
ac ≤ bc
其中a、b和c都属于R。
满足上述条件的集合被称为线性序集。
4）连续公理
如果X和Y是实数集R的两个非空子集，且X和Y中的任何元素x和y成立关系x≤y，则存在属于R的元素c对于任何属于X和Y的元素x和y成立x≤c≤y。
二、扩充实数集，引入±∞
±∞是实数集的两个扩充元素，虽然其没有具体的值定义，但有下面的关系规定其属性：
1）+∞
对于任意实数a，成立关系
a ≤ +∞
2）-∞
对于任意实数a，成立关系
-∞ ≤ a
显然，±∞就是线性序集的两端。集合R∪{-∞,+∞}就是扩充的实数集。
±∞的运算规定：
a+(±∞) = (±∞)+a = ±∞ (a≠±∞)
a*(±∞) = (±∞)*a = ±∞ (a>0)
a*(±∞) = (±∞)*a = ∓∞ (a<0)
a/(±∞) = 0 (a≠±∞)
上面最后一式其实是定义了（±∞）⁻¹=0。
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