复习分部积分法！

发表于 2020-3-4 11:33

本帖最后由 xukun977 于 2020-3-4 12:00 编辑

电工有事看看电路原理、设计、手册等，没事就看看数学，提升内功。
搞不懂某个技术，别人提示一下可能瞬间醒悟，但搞不懂某个数学原理，基本上需要个把月甚至更长时间，来研究，这么长时间过去，可能项目早该做完了。

问题：这个信号与系统中常见的积分，如何近似求解？

分部积分法是基于恒等式：

想使用这个公式，关键点是找对或者说确定哪个是u，哪个是v，这个搞不定，后面就求不出来，相当于走弯路。

如何选U和V，本科阶段老师会告诉学生个口诀：反对幂三指！，这个是对于基本函数，选择V的优先级顺序。
这个口诀对大一大二数学题有效，但在本问题中，是不行的，如果这样选择U和V，得不到期望的结果。

应该这样选择U和V：（f和h都是t的可微函数）

这样就可以求出du和V了：

把U、V、dU、dV代入分部积分公式，得：

分部积分法有个特点，往往要继续多次套用分部积分公式，才能得出结果，只有少数简单的问题，只需要套一次公式就能搞定。

所以，对上式中的积分，继续使用分部积分法，最终可求得当x-->∞时，I(x):

发表于 2020-3-4 12:02

本帖最后由 xukun977 于 2020-3-4 12:17 编辑

上面这个积分老重要了，一个拉普拉斯，一个傅里叶，折磨大一大二学生若干年，信号与系统不好学。

上面积分有个特殊情形，即:

这样一写，立马就能认出来这是拉普拉斯变换了。

肯定有人误以为拉普拉斯变换学完，就没有了。
实际上，这只是**长征走完第一步。
首先，拉普拉斯变换，只是数学中多如牛毛的变换中，其中一种而已。这个先不说。
单单是拉普拉斯变换，后人就就行多次升级改造。例如拉氏变换的2次迭代：

人家发明这个东西，就要给人家个名分，上式就是著名的S变换。

好事者一看人家迭代两次，立马想到迭代三次、四次。。。

迭代三次，得到的是指数积分变换。

发表于 2020-3-4 13:33

本帖最后由 xukun977 于 2020-3-4 13:50 编辑

推出一个公式后，要分析这个公式的意义，有何用处，这才是目的。

上面的结果表明：在某个积分区间【a,b】，h(t)在此区间的端点处，对积分有贡献，而且如果h(a)≠h(b)，那么哪个端点处h值较大，那么这个端点对积分的贡献最大！！
这个就是拉普拉斯方法的核心思想！

拉普拉斯根据这个思想，设计了一套求解积分的程序。
例如：

把f(t)=1/(1+t)展开：

因为当t的绝对值小于1时，级数才收敛，而所给的积分限却是要到10的，所以倘若直接把f(t)展开式代入积分式，就出现了貌似不合理尴尬情形。

此时有两个解决方法，第一个比较直观，就是把积分限修改成两个积分之和：

确保第一个积分限在【0，1】之内。

第二个解决问题的方法，就是根据拉普拉斯核心思想，因为h(t)=-t，非常明显，t=0时，h(t)取最大值。
所以可以直接修改积分限，而不会影响结果。

把积分上限由10换成无限趋近于小的一个正数，这样做看着危险，实际上当x-->∞时，结果是非常精准的。

根据拉普拉斯的核心思想，不但可以把较大的积分上限换成无穷小的上限，还可以把无穷小的积分上限，换成无穷大的积分上限，而对积分结果几乎没有任何影响，当x比较大时。

掌握住拉普拉斯的核心思想，对这类积分的运算才能得心应手，否则直接强行硬攻的话，会困难重重。

发表于 2020-3-5 11:59

前段时间不让出门，在看信号与系统的书。要努力跟上大侠的脚步。
想不到拉普拉斯变换还是这么多名堂。

发表于 2020-3-8 14:44

本帖最后由 xukun977 于 2020-3-8 14:47 编辑

关于上面所说的拉普拉斯思想方法，乍一看可能感觉不可思议，或者是担心这样做会带来较大的误差。
下面给个具体的例子！

请注意下面的积分，修改积分上限对计算结果的影响:

Screenshot_2020-03-08-14-36-31-399_com.mrduy.calc.ti36.png

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Screenshot_2020-03-08-14-37-07-260_com.mrduy.calc.ti36.png

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复习分部积分法！

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