正本清源——稳定及其判据

2万 · 2015-11-20 13:32

进入正题前先说明两点：

一）信号的能量和功率

能量（Ex）有限的称为能量信号，而功率（Px）有限的则称为功率信号。显然，能量信号必然是功率信号，反之不然。

二）工具

我们都知道有门课程叫《信号与系统》，其实应该称为《信号与线性系统》。那么，现实本是个非线性的世界，这个“线性工具”能完全胜任吗？当然不能！不过，在一定的范围内只要其误差可容忍，这个“线性工具”基本还是能够胜任相应的要求。

当然，除了这个“线性工具”外还有其它的一系列工具可以使用，不过那是完全不同的一套“语言”。这里我们选择了这个非常成熟的“线性工具”——《信号与线性系统》。

2万 · 2015-11-20 13:41

“稳定”这个概念是非常的重要，因为其界定了两类基本的系统——自治系统和非自治系统。

通常我们都希望系统是“稳定”的，其实“非稳定”（自治）有的时候更为重要，譬如振荡器。

这里我们不评价“稳定”和“非稳定”的好坏，而只是讨论其分水岭——判据。

2万 · 2015-11-20 13:46

先给个“稳定”概念的定义：

这里涉及到了“有界”的概念，其实就是前面说的功率有界——功率信号。

此外，这里还涉及到了所谓的“绝对稳定”和“相对稳定“的概念。

2万 · 2015-11-20 13:52

这里再引一个东西，注意其下面的注解：

前面说了，我们是在线性范畴内讨论系统的稳定与否的问题，脱离了线性（譬如饱和）则可以认为是线性范畴意义下的“非稳定”，这和数字脉冲电路中的稳定概念完全不同！

2万 · 2015-11-20 13:59

下面给个图，以及一些基本的数学：

环路传递函数T(s)的自变量s按Nyquist路径顺时针走一圈在T(s)复平面上所得的图就是Nyquist图。

2万 · 2015-11-20 14:14

需注意的是，上面是按正反馈符号约定（T(s)=1），其绕点是（1，j0）。如果按照负反馈符号约定（T(s)=-1），则其绕点是（-1，j0）。一般的教科书和文献资料多数是采用了负反馈符号约定，即：

Af = A/(1+AF)

T=AF=-1

上式闭环增益分母中用加号，下式系统特征方程右边为-1。这种约定是将反馈输入到放大差分输入的负端。

由此，下面将采用负反馈符号约定。

2万 · 2015-11-20 14:22

Nyquist图看起来可能不太舒服，这里引入Nichols图：

Nichols图中，增益是对数纵坐标，相角为线性横坐标。这里的图中还给出了环路传递函数和闭环传递函数间的关系，便于对应。

2万 · 2015-11-20 14:38

下面该看看Nyquist判据（数圈圈）如何在Nichols图中体现出来的。给个图：

令s自原点沿正虚轴至无穷大，这样就得到了“半条”Nyquist图线（由于另外“半条”共轭对称，所以无需画出）。

如果在增益为0dB线以上由右至左穿越-180度线，则加1，反之减1。此外还有“半穿越”的情况（见图）则加减0.5。最后将所得数字乘2，则就是系统特征方程在其s右平面内根的个数。显然，等于0为稳定，而大于0则不稳定。

2万 · 2015-11-20 14:48

这里需要说明两点：

一）如果图线通过（-1，j0）（Nichols图中的（-180度，0dB）），则表明有在虚轴上的特征根，这是随遇平衡点——非稳定。

二）上述是绝对稳定概念，而在绝对稳定的前提下可以用GM和PM来度量其相对稳定度。

2万 · 2015-11-20 14:51

这里给几幅实例示意图：

这是相关振荡器的。

2万 · 2015-11-20 14:59

这里给出了Nyquist判据和Nichols图，那么Bode图呢？

其实很简单，Nichols图是频率的参数方程图。如果将频率也表示成一个坐标，则必须由两幅图来表示，那就是幅频和相频图，给个对应（Nyquist图和Bode图）：

2万 · 2015-11-20 15:02

再给个图，看看裕度：

2万 · 2015-11-20 15:10

不难将Nichols图中的Nyquist稳定判别方法用到Bode图中，自己看看吧。

此外，这里可没有Barkhausen什么事儿！

1万 · 2015-11-20 19:36

Af = A/(1+AF)

中 f 和 F 是两个量还是一个量？

2万 · 2015-11-20 20:10

oldzhang 发表于 2015-11-20 19:36
中 f 和 F 是两个量还是一个量？

“f”是下标，“F”是反馈系数。

其中“Af”表示闭环增益。

只看该作者 · 2015-11-21 00:15

支持在:victory::):lol

只看该作者 · 2016-4-30 21:58

HWM 发表于 2015-11-20 13:59
下面给个图，以及一些基本的数学：

老大，你连nyquist图是什么就没整明白，还怎么来说教啊。另外，你引用的内容能看懂，但是你自己说的却很难懂，我没看到你所引用的与你所说的之间的逻辑关系。

nyquist图其实就是polar plot. 当w从0到无穷时，传递函数（是一个复数）在极坐标下的轨迹。
谁规定了nyquist图必须是开环传递函数的图？

“自变量s按Nyquist路径顺时针走一圈在T(s)复平面上所得的图” 是什么图？说的那么难懂，不就是把nyquist 路径共形映射到T(s)平面上的一个图吗？

你所说的“自变量s按Nyquist路径顺时针走一圈在T(s)复平面上所得的图” 是用来判断稳定性的，根本不是nyquist图。

你完全是把 nyquist图和把nyquist path映身到T(S)平面的图搞混淆了嘛。

2万 · 2016-4-30 22:09

dongshan 发表于 2016-4-30 21:58
老大，你连nyquist图是什么就没整明白，还怎么来说教啊。另外，你引用的内容能看懂，但是你自己说的却很 ...

只给两个字，作为建议：

看书！

只看该作者 · 2016-4-30 22:11

HWM 发表于 2016-4-30 22:09
只给两个字，作为建议：

看书！

请你也看一看书啊。

2万 · 2016-4-30 22:15

dongshan 发表于 2016-4-30 22:11
请你也看一看书啊。

nyquist图其实就是polar plot. 当w从0到无穷时，传递函数（是一个复数）在极坐标下的轨迹。
谁规定了nyquist图必须是开环传递函数的图？

谁告诉你是极坐标下的轨迹啊！

复平面一定就是个极坐标？！

正本清源——稳定及其判据

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