一．数学模型的建立与原理分析
平衡小车的数学模型与倒立摆十分相似，在忽略空气阻力等小影响因素并假设偏转角度为小角度的前提下，倾斜一个角度的小车受到的回复力与位移方向相同，是一个不稳定的系统。所以为使小车能变成一个稳定的系统，首先需要添加一个额外的受力使得回复力与位移的方向相反。
当我们控制小车底部使它向倾斜方向加速运动时，在小车所在的非惯性系中看小车，它就会受到额外的力(惯性力)，该力与车轮的加速度方向相反，大小成正比。这样倒立摆所受到的回复力为
（1.1）
如（1.1）式控制车轮加速度与偏角成正比，比例为Kp。显然，如果Kp>g（ g 是重力加速度），那么回复力的方向便于位移方向相反了。
但仅仅有这个回复力系统不会稳定的直立，而是做简谐运动。所以还需要增加阻尼力，与偏角的速度成正比，方向相反。因此式（1.1）可变为
（1.2）
按照上面的控制方法， 可把倒立摆模型变为单摆模型，能够稳定在垂直位置。 因此，可得控制车轮加速度的控制算法
（1.3）
在此控制下小车在小车的动态学方程为
（1.4）
整理得
（1.5）
为仰俯角的二阶微分方程
（无阻尼振荡频率） （1.6）
（阻尼比） （1.7）
微分方程解
（1.8）
将其化为欠阻尼二级系统
（阻尼振荡角频率） （1.9）
（1.10）
为快速性提高，可尽量使
（1.11）
且在不变的情况下越大越大，平稳性越差。
但由于电机内部原理太过复杂，不易进行数学模型的建立，角度环的分析到此为止，所得公式可帮助调节PID时观察小车状态再进行定性分析，得到参数所需要加大或减小。
但在仅有角度环的情况下也无法使小车稳定的直立，因为当小车受到一定干扰后小车的控制因素没有速度，既无法控速，小车在角度修正的过程中不断加速直至电机无法再加速然后倒地，故还应该加上一个速度反馈。另保证在控速的同时小车的位移可以保持一定范围内，速度反馈要添加一个积分环节。故最后的pwm输出方程为
输出=角度比例系数*角度+微分系数*角速度+速度比例系数*（车速-控制速度）+速度积分系数*（（车速-控速）） （1.12）
控制原理图如图1.1
控制原理图1.1 |
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