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[电路/定理]

“科普”（续）——不能让ROC忽悠再过年了

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楼主
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:03 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
函数, 拉普拉斯, 拉普拉斯变换
“科普”之前篇说了什么是ROC，这里进一步看看ROC在拉普拉斯变换中的作用。

此帖内容涉及到《复变函数》中的某些知识，这里假设各位都具备这些知识所以不会给出基础性的解释。

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沙发
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:07 | 只看该作者
此帖将分析拉普拉斯反变换，先给个一般的式子：



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板凳
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:09 | 只看该作者
配个图：



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地板
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:11 | 只看该作者
此帖具体考虑指数函数的反变换，先分析下面的式子：



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5楼
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:15 | 只看该作者
显然，当x>0时，G(s)在s平面左侧指数衰减。
反之，当x<0时，G(s)在s平面右侧指数衰减。


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6楼
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:20 | 只看该作者
下面先看ROC中的一种情况：



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7楼
xukun977| | 2017-1-25 13:20 | 只看该作者
跟挤牙膏一样，往前推一下，就走一步；提醒一下又走一步。。。
这才两年多！我就这样，过一段时间，提醒一句，过一段时间，再来一句，争取5年之内，把这个话题结了！
倘若没有高人相助，别说年前了，就是明年过年也搞不定啊！

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8楼
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:23 | 只看该作者
再配两幅图：





注：上图中的t这里应该是x。


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9楼
xukun977| | 2017-1-25 13:29 | 只看该作者
一看图就知道完蛋了，年前搞不定了。。。

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10楼
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:33 | 只看该作者
关于上面两幅图，这里必须说明几点：

1）图中的粗蓝线表示拉普拉斯反变换的积分路径，其必须在ROC内。

2）ROC外作解析延拓。

3）图中的细蓝线表示无穷远处，由于其上G(s)指数衰减至零，所以积分为零。


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11楼
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:39 | 只看该作者
这样，在对ROC外延拓后，得到了一个环路积分。根据x>0和x<0两种情况，直接计算留数即可得到结果。


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12楼
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:41 | 只看该作者
现在，该看看ROC的另一种情况了：



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13楼
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:42 | 只看该作者
上式就不再配图了，各位自己分析吧，完全类似的情况。

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14楼
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:44 | 只看该作者
这里需要特别说明的是：

    ROC在此起到了极其重要的作用！

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15楼
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:47 | 只看该作者
细心的网友可能发现，这里缺了个x=0的情况。下面，补上：



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16楼
HWM|  楼主 | 2017-1-25 13:49 | 只看该作者
为何是上面的式子，各位自己去分析推导。这里只给结果，就不给具体过程了。

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17楼
HWM|  楼主 | 2017-1-25 14:00 | 只看该作者
最后总结几句：

1）拉普拉斯逆变换中的积分路径必须在ROC中。若积分函数解析延拓后在无穷远处指数衰减至零，则可以配上积分为零的附加路径。

2）根据《复变函数》的知识，对于解析延拓后的函数（并非是原本的拉普拉斯变换）可以按相关定理灵活处理。

3）对于时间变量t，由于其具有一定的方向性，相关的ROC可以缺省不提，但这不等于没有ROC。但对于空间变量x，则必须注明ROC。

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18楼
雪山飞狐D| | 2017-1-25 19:14 | 只看该作者
  MARK，这个确实是书上的重难点之一，非常不好理解

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19楼
xukun977| | 2017-1-25 20:42 | 只看该作者
雪山飞狐D 发表于 2017-1-25 19:14
MARK，这个确实是书上的重难点之一，非常不好理解

看帖不好理解，叫楼主把他看的那本书拿出来看，就好理解了！

IMG_20170125_203913.jpg (131.03 KB )

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20楼
xukun977| | 2017-1-25 20:47 | 只看该作者
6楼和12楼有模有样列两步式子，实际根本就没用上，最后一步结果是直接把书上结论套过去的！

大红字部分都穿帮了，明显没研究过复变函数，那个积分限∞在复变函数里可是有讲究的！

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