快速计算正弦波
在DSP运用中，经常需要产生正弦波。如果直接用c的数学函数sin，当然可以产生正弦波，但是由于sin函数本身的效率很低，产生正弦波所需要的MIPS就会占去DSP处理能力的相当大的一部分。本章介用递推数列算正弦波的方法，先介绍原理，推导出递推公式，然后用浮点小数实现计算，再用定点小数进一步优化算法，最后进行误差分析，并提出更精确的定点小数算法。
先来看看如何推导出递推数列的公式。
我们所要产生的正弦波，其实是一系列的整数，把这些整数按照一定的取样频率发送给数模转换器，就可以变成真正的正弦波了。假设取样周期是Ts，产生的正弦波的圆频率为w，那么我们需要产生的数列就是：
sin(0), sin(w*Ts), sin(2*w*Ts), ... sin(n*w*Ts)
假设f(n)= sin(n*w*Ts)，则问题就变成，从f(n-1), f(n-2), f(n-3),..., 如何计算f(n)了。解决了这个问题，也就找到了递推公式。
下面是这个递推公式的求解过程，假设x=w*Ts：
公式：sin( a + b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)
sin( x + (n-1)x ) = sin(x)*cos( (n-1)x ) + cos(x)*sin( (n-1)x )
公式：Sin(a)*cos(b) = 1/2 * [ sin( a+b ) + sin( a-b ) ]
sin(x)*cos( (n-1)x ) = 1/2 * [ sin(nx) - sin( (n-2)x ) ]
sin(nx) = 1/2 * [ sin(nx) - sin( (n-2)x ) ] + cos(x)*sin( (n-1)x )
sin(nx) = 2*cos(x)*sin( (n-1)x ) - sin( (n-2)x )
我们看到这个递推公式是:
f(n)=2*cos(w*Ts)*f(n-1) - f(n-2)
也就是说只要知道最初始的两项f(0)和f(1)，就可以计算出整个正弦波了。
根据上面的递推公式，很容易写出下面的正弦波计算程序。只要事先计算一次sin(w*Ts)和cos(w*Ts)，以后的值就可以通过递推公式得到，所以计算一个值所需要的工作就是一次乘法，一次加法，两次变量复制而已了。
以下内容为程序代码:
float y[3] = {0, sin(w*Ts),0}; // y(n), y(n-1), y(n-2)
float a1=2*cos(w*Ts);
float a2=-1;
float singen(){
y[0]=a1*y[1]+a2*y[2];
y[2]=y[1];
y[1]=y[0];
return y[0];
}
假如我们需要产生取样频率为8KHz的440Hz的正弦波，那么a1=2*cos(2*pi*440/8000)=1.8817615，而y[1]=sin(2*pi*440/8000)=0.33873792。
现在看如何用定点小数来更快的计算正弦波。我们使用16bit也就是short型的整数来表示定点小数。首先需要决定的是小数的Q值，虽然我们最后计算的正弦波的值都是小于1的，但是在计算过程中需要用2*cos(w*Ts)，而这个值最大为2，所以我们选择的Q值必须至少最大能表示2。这里我们选择 Q14，Q14的定点小数能表示-2到2的取值范围，对于本例的正弦波计算正好合适。1.8817615的Q14值是1.8817615*2^14= 5550=0x786F，同样0.33873792的Q14值为0x15AE。
下面就是完整的计算8KHz取样频率的400Hz的定点小数的正弦波的程序。
以下内容为程序代码:
short y[3] = {0, 0x15AE,0}; // y(n), y(n-1), y(n-2)
short a1=0x786F;
short a2=0xC000;
short singen(){
y[0]=( (long)a1*(long)y[1]+(long)a2*(long)y[2] )>>14;
y[2]=y[1];
y[1]=y[0];
return y[0];
}
使用定点小数计算不但速度比浮点更快，而且计算得出来的值是整数，这个数值可以直接传递给DAC(数模转换器)转换为模拟的声音信号，如果使用浮点小数计算的话，还必须把浮点数转换为整数才能传递给DAC。
使用定点小数计算必须仔细分析误差，下面来看看我们产生的正弦波的误差是多少。定点小数计算中的误差就是由定点小数表达精度决定的。在上面的例子中我们用 0x786F表示1.8817615，这存在一定的误差，把Q14的0x786F再转换为浮点数就是0x786F/2^14=1.8817749，我们可以看到相对误差非常小，也就是说最终得到的正弦波在频率上的误差也是非常小的。
但是，定点小数并不是什么时候都这么精确。例如如果用CD 音质的取样频率44100Hz来产生100Hz的正弦波，那么a1=2*cos(2*pi*440/44100)= 1.9960713，这个数转换为16比特的Q14的值是0x7fc0。我们可以看到这时定点小数已经十分接近0x7fff了，最终产生的正弦波的频率也会有很大的误差。为了能够精确地计算这样的正弦波，必须使用32bit的Q30定点小数。关于32bit定点小数的计算方法将在别的章节介绍。
另外上面的singen函数每调用一次只产生一个值，如果要产生实时的正弦波的话，函数的调用频率和取样频率相同，DSP的负担相对比较大。一般DSP计算都采取块计算方式，一次计算n个（例如64）个取样值，这样不但减少了函数的调用负担，也可以减少中间的内存移动的次数（y[2]=y[1];y[1]= y[0];）。
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