谁给科普一下，说说复数与电工学的故事？

只看该作者 · 2010-9-8 12:40

复数最开始是怎么发现的？
搞不懂怎么用复数来做电路分析可行呢？
欧拉方程有其物理本质上的解释吗？

2万 · 2010-9-8 12:56

re LZ：

复数最开始是怎么发现的？

这简单，因为人们想看看“-1”开方后是咋回事便拓展了数域。

搞不懂怎么用复数来做电路分析可行呢？

这就得看一下频率为F简谐信号是由几个参数决定的。对，两个——即幅度和相位。通常解两个参数需要两个方程，那如果一个复数方程相当于几个方程呢？

欧拉方程有其物理本质上的解释吗？

这是欧拉公式，通常不叫欧拉方程，因为还有一个方程同名（欧拉-拉格朗日方程）。此公式在物理中没有什么特殊意义，故不存在物理本质上的解释。通常可以人为这是e指数在复数域的拓展（即定义）。

2万 · 2010-9-8 13:14

关于复数不妨再说开两句：

在经典物理学中，复数只是为了简化书写才被引入的。因为一个复数方程相当于两个实数方程，即复数方程比实数方程的信息含量大了一倍。

在近代物理学中（主要是量子力学和相对论），复数的引入则是具有革命性的了，而并非方程数增减那么的简单。由于在四维空间中引入了虚数“i”，才形成了“闵可夫斯基空间”，因此才有相对论。在运动方程和对易子中引入了虚数“i”,才形成了“量子化”，从而产生了《量子力学》。

只看该作者 · 2010-9-8 13:30

知道的不是太多，就是以前做信号处理的时候用到了FFT才发现我们学得工程数学在工作中的应用。后来做射频带电路的时候才知道没有复数没得玩，才又捡起来了当初学的微波原理，里面都是复数

只看该作者 · 2010-9-8 16:37

本帖最后由 sxdxy 于 2010-9-8 18:35 编辑

具体的虚数发现的历史我不是十分清楚，但我猜测可能是求解微分方程的时候遇到没有实数算子的情况。学过求解微分方程的人应该都知道可以用算子法求解较为复杂一些的微分方程，所以解微分方程首先是列出算子式。算子式通常是一个高次多项式。当算子式是一个二次多项式如f(s)=a*s^2+b*s+c时就会遇到Δ<0而无法获得实数解的情况。但是实际的情况中Δ<0的情况经常存在，难道就不能用算子法来求解了吗？
假设存在一个由一只理想电容、一只理想电感和一只理想开关以及若干理想导向组成的串联LC电路。开关起初未合上，而电容存储有一定的电荷，其两端电压为V=Q/C。在t=0时刻理想开关突然合上，求t=0时刻后电容两端电压的变化情况。我们都知道电容和电感的伏安特性，并根据同一时刻环路电流处处相等，任何时刻环路电压代数和等于零的原理，可以列出如下方程：
i=C*(dUC/dt)
UL=L*(di/dt)=LC*d(dUC/dt)/dt.
UL+UC=LC*d(dUC/dt)/dt+UC=0.
从最后一个微分方程中我们可以得到这样的算子式：
LC*s^2+1=0，显然这个算子式是没有实数解的。但是上面那个微分方程显然是有解的。试将
UC=Acos[t/sqr(LC)]+Bsin[t/sqr(LC)]（sqr(LC)表示对LC开根号）代入满足LC*d(dUC/dt)/dt+UC=0的微分方程等式，再根据初始条件UC(t=0)=Acos0=A=V可以解得电容两端电压随时间变换的函数为
UC(t)=Vcos[t/sqr(LC)]。那么我们就猜测假如可以有这么一个数j=sqr(-1)，然后得到一个带j的算子根，能否得到同样的解？根据这个思想LC*s^2+1=0可以解得：
s1=j/sqr(LC)和s2=-j/sqr(LC)这样微分方程的通解就为：
UC=A*exp[(j*t)/sqr(LC)]+B*exp[(-j*t)/sqr(LC)]（exp(x)表示e的x次方），根据初始条件
UC(t=0)=A+B=V，而i(t=0)=C*(dUC/dt) while(t=0)=[j/sqr(LC)]*(A-B)=0，可以得到
A=B=V/2
那么
UC=V/2{exp[(j*t)/sqr(LC)]+exp[(-j*t)/sqr(LC)]}，这个结果根据欧拉公式exp(jx)=cosx+j*sinx可以得到：
UC=V/2[exp(y)+exp(-y)]=V/2(cosy+j*siny+cosy-j*siny)=V*cosy（其中y=t/sqr(LC)]）可见和之前的结果是一样的。那么虚数单位j必然是有其物理意义的。然后在复数坐标系上可以看到任意一个非零复数乘上一个j，它的幅度不变而角度增加90°。再根据欧拉公式exp(jx)=cosx+j*sinx中cosx或者sinx与exp(x)一一映射的关系，我们可以把一个三角函数映射到复平面上。这样当稳定的角频率为w（用w代替omega）交流信号作用在一个电感或电容上其遇到的感抗和容抗分别为jwL和1/(jwC)

注：限于篇幅，欧拉公式的证明以及容抗感抗的计算均不作详细讲解

3万 · 2010-9-8 16:44

“但我猜测可能是求解微分方程的时候遇到没有实数算子的情况”
虚数如HWM所说，是在解二次方程时引入的。这比微分积分早得多，比微分方程更是早得多。

只看该作者 · 2010-9-8 16:53

“但我猜测可能是求解微分方程的时候遇到没有实数算子的情况”
虚数如HWM所说，是在解二次方程时引入的。这比微分积分早得多，比微分方程更是早得多。 ...
maychang 发表于 2010-9-8 16:44

微分方程的算子式是二次方程的时候，它的物理意义是很明确的。至于其他的实际生活中遇到的数学问题求解二次方程时Δ<0，我找不出来。不知may伯能否给出一个。如果不是这样的话，那虚数的起初可能仅仅是一个数学上的问题了。数学是工具学，我觉得如果数学在实际的研究或生活领域中没有其相应的模型，那么这样的数学问题似乎意义不大。当然历史发展又可能是另一回事。数学可能超前于物理研究的前沿

只看该作者 · 2010-9-8 17:03

本帖最后由 sxdxy 于 2010-9-8 17:07 编辑

上传一份关于虚数起源的小材料，版面像给儿童看的;P
还是老外有闲比较会扯淡，10分解成两个数的和相乘后怎么会得到40呢？结果扯着扯着，虚数扯出来了，真理扯出来了

Complex.pdf (679 KB)

只看该作者 · 2010-9-8 18:14

下来看看！

3万 · 2010-9-8 19:01

8楼所贴，其它专门讲数学史的书(学术著作，不是科普)也是这么说的。
数学上很多东西，就是在摆弄数，尤其是摆弄整数时搞出来的。

2万 · 2010-9-8 22:24

to 5L：

那东西不叫“算子式”，通常称为特征多项式。

6楼 maychang 说的不错，复数就是源于解二次多项式的复根，即对其中根号内含负数情况的拓展。

另外，欧拉公式不存在证明，因为不是一个在原有体系内成立的公式。如果把e^(i x) 理解为e指数的复数拓展，则e^(i x) = cos(x) + i sin(x) 就是e^(i x)的直接定义。另外一种理解就是将e^(i x) 定义成e指数函数的泰勒展开，则会看到其展开式和 cos(x) + i sin(x)的泰勒展开是一致的，故有e^(i x) = cos(x) + i sin(x)。无论是哪种理解，都必须引入一种新定义，所以说这不是证明而是概念的拓展。

只看该作者 · 2010-9-8 23:12

本帖最后由 sxdxy 于 2010-9-8 23:16 编辑

11# HWM
我也不扯概念。我的教材上是说“算子式”，当然说特征多项式也没错
而说欧拉公式证明是说有j的定义下用泰勒级数展开后可以得到欧拉公式的结果。没有定义自然一切皆是无本之末

只看该作者 · 2010-9-8 23:16

HWM大叔看来是资深学究派，我虽然有时候也被同学称为学究，但在HWM大叔面前只能汗颜了:L不过有时也只能点到为止了，毕竟是做工程的，不是做物理学理论研究的

1万 · 2010-9-8 23:19

引入虚数，是为了解释矢量量的分解。

2万 · 2010-9-8 23:24

本帖最后由 HWM 于 2010-9-8 23:30 编辑

to 12L：

证明是在已有体系内的推理。如果超出了原有体系，则就无证明可言，这是基本的逻辑。“证明”中，若引入了定义，且又要去“证明”那定义的内容，你说意义何在？

2万 · 2010-9-8 23:27

因此，现在的教科书内，通常直接将欧拉公式定位为e的复指数定义。

只看该作者 · 2010-9-8 23:29

to 11L：

证明是在已有体系内的推理。如果超出了原有体系，则就无证明可言，这是基本的逻辑。“证明”中，若引入了定义，且又要去“证明”那定义的内容，你说意义何在？ ...
HWM 发表于 2010-9-8 23:24

虚数并非纯粹的定义问题，它还是有它的实际意义的。当然它说到底还是工具。当了解虚数的实际意义时证明还不是在体系内吗？

只看该作者 · 2010-9-8 23:32

16# HWM
HWM大叔不知道是哪个学校做研究的还是怎么？有机会来拜你为师啊。就不知道看不看得起我这考研靠不上的本科生了;P

2万 · 2010-9-8 23:45

to 17L：

数学中，没有一个概念是无定义的。因此虚数也不例外。

只看该作者 · 2010-9-8 23:55

本帖最后由 sxdxy 于 2010-9-9 00:04 编辑

19# HWM
注意纯粹二字。我之前那么多篇幅解微分方程也就是要说明虚数有实际意义。而并一个纯粹image出来的没有任何意义的东西，并非一个纯粹定义出来的玩意。就好比我可以image这么一个东西，只在我的脑袋中，它很powerful。但是现实世界中找不到，说不上来有没有颜色，有没有形状云云，那这纯粹就是一个定义的问题了。

谁给科普一下，说说复数与电工学的故事？

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