本帖最后由 HWM 于 2011-3-9 12:06 编辑
关于传输线内电磁波的反射和投射：
设有两段无损传输线 1 和 2，其特征阻抗分别为 Z1 和 Z2（无损传输线特征阻抗为实数）。入射波（简谐行波）从 1 端馈入，入射波的电压和电流为：
Vi(t,x) = Va cos(ω t - k x)
Ii(t,x) = Ia cos(ω t - k x)
设反射和透射波为：
Vr(t,x) = Vb cos(ω t + k x + θ1)
Ir(t,x) = Ib cos(ω t + k x + θ1)
Vt(t,x) = Vc cos(ω t - k x + θ2)
It(t,x) = Ic cos(ω t - k x + θ2)
而且满足关系：
Va / Ia = Vb / Ib = Z1
Vc / Ic = Z2
其中，ω 为角频率，k 为波矢，θ1 和 θ2 为相位。
设两传输线在 x = 0 处连接。根据边界条件，存在下面关系：
Vi(t,0) + Vr(t,0) = Vt(t,0)
Ii(t,0) - Ir(t,0) = It(t,0)
求解两传输线交界处的反射系数（Γ）和透射系数（T）。具体按定义为：
Γ = Vr(t,0) / Vi(t,0)
T = Vt(t,0) / Vi(t,0)
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解和分析：
一、确定 θ1 和 θ2
方法一：
由边界条件得以下二式：
Va cos(ω t) + Vb cos(ω t + θ1) = Vc cos(ω t + θ2) ①
Va cos(ω t) / Z1 - Vb cos(ω t + θ1) / Z1 = Vc cos(ω t + θ2) / Z2 ②
由① - ( ② Z2 )，得：
(1 - Z2 / Z1) Va cos(ω t) + (1 + Z2 / Z1) Vb cos(ω t + θ1) = 0
设 ω t = π / 2 得：
Vb (1 + Z2 / Z1) sin(θ1) = 0
因 Va ((1 + Z2 / Z1) ≠ 0（若 Vb = 0 则无反射），所以有 θ1 = 0。
由①，设 ω t = π / 2 且 θ1 = 0 得：
Vc sin(θ2) = 0
因 Vc ≠ 0（若 Vc = 0 则无透射），所以有 θ2 = 0
方法二：
用复指数表示边界条件得下二式：
Va e^(j ω t) + Vb e^[j (ω t + θ1)] = Vc e^[j (ω t + θ2)]
Va e^(j ω t) / Z1 - Vb e^[j (ω t + θ1)] / Z1 = Vc e^[j (ω t + θ2)] / Z2
两边同乘 e^(-j ω t) 得：
Va + Vb e^(j θ1) = Vc e^(j θ2) ③
Va / Z1 - Vb e^(j θ1) / Z1 = Vc e^(j θ2) / Z2 ④
由③ - ( ④ Z2 )，得：
(1 - Z2 / Z1) Va + (1 + Z2 / Z1) Vb e^(j θ1) = 0
取虚部得（无损传输线的特征阻抗为实数，即 Z1 和 Z2 为实）：
(1 + Z2 / Z1) Vb sin(θ1) = 0
同上可知，θ1 = 0
代入③，取虚部得：
Vc sin(θ2) = 0
同样得，θ2 = 0
二、导出 Γ 和 T
由于 θ1 = 0 和 θ2 = 0，边界条件 ① 和 ② 为如下二式：
Va cos(ω t) + Vb cos(ω t) = Vc cos(ω t)
Va cos(ω t) / Z1 - Vb cos(ω t) / Z1 = Vc cos(ω t) / Z2
容易解得：
Γ = Vr(t,0) / Vi(t,0) = Vb cos(ω t) / [Va cos(ω t)] = Vb / Va = (Z2 - Z1) / (Z2 + Z1)
T = Vt(t,0) / Vi(t,0) = Vc cos(ω t) / [Va cos(ω t)] = Vc / Va = 2 Z2 / (Z2 + Z1)
三、分析
1）x < 0 点上的反射系数
设 Γ(t,x) 为 x 点上的反射系数（定义为Vr(t,x) / Vi(t,x)），则有（注意这里采用复数形式表示）：
Γ(t,x) = Vr(t,x) / Vi(t,x) = {Vb e^[j (ω t + k x)]} / {Va e^[j (ω t - k x)]} = Γ e^(2 j k x)
显然，Γ(t,0) = Γ，即为交界点上的反射系数。容易看到，随着 x 点的移动，Γ(t,x) 在复平面上以原点为圆心，|Γ| 为半径的圆上移动。由于 k = 2 π / λ（λ 为波长），可见 Γ(t,x) 以 λ / 2（二分之一波长）为周期变化。相对于 |Γ| 在复平面上的同心圆称为驻波比圆。
2）x < 0 点上的阻抗
设Z(x)为 x 点上的阻抗（定义为 ( Vi(t,x) + Vr(t,x) ) / ( Ii(t,x) - Ir(t,x ) ) ），则有：
Z(x) = ( Vi(t,x) + Vr(t,x) ) / ( Ii(t,x) - Ir(t,x ) )
= Z1 ( 1 + Γ(t,x) ) / ( 1 - Γ(t,x) )
= Z1 ( 1 + Γ e^(2 j k x) ) / ( 1 - Γ e^(2 j k x) )
= Z1 ( (Z2 + Z1) e^(-j k x) + (Z2 - Z1) e^(j k x) ) / ( (Z2 + Z1) e^(-j k x) - (Z2 - Z1) e^(j k x) )
= Z1 (Z2 cos(k x) - j Z1 sin(k x)) / (Z1 cos(k x) - j Z2 sin(k x))
= Z1 (Z2 - j Z1 tg(k x)) / (Z1 - j Z2 tg(k x))
设 d 为 x 点到原点（传输线界面）的距离，则有d = -x。代入得：
Z'(d) = Z(-d) = Z1 (Z2 + j Z1 tg(k d)) / (Z1 + j Z2 tg(k d))
显然，Z'(0) = Z2，即为传输线2的特征阻抗。
a）设 Z2 = 0（传输线一端短路），有：
Z'(d) = j Z1 tg(k d)
这是什么？当d < λ / 4 时，这是个“电感”。而且当接近四分之一波长时感抗非常大，意味着“电感量”特大。但一旦超过四分之一波长时，将变成了“电容”。
b）设 Z2 = ∞（传输线一端开路），有：
Z'(d) = Z1 / (j tg(k d))
这是什么？当d < λ / 4 时，这是个“电容”。而且当接近四分之一波长时容抗非常小，意味着“电容量”特大。但一旦超过四分之一波长时，将变成了“电感”。
c）设 d = λ / 4（传输线1长度为四分之一波长，即 k d = π / 2），有：
Z'(λ/4) = Z1 Z1 / Z2
可见，四分之一波长的传输线可将阻抗Z2变换成Z1^2 / Z2。通过适当选择Z1，原则上可将Z2变换成任意的阻抗。这就是常用的四分之一波长阻抗变换器。
分析到这里，传输线的特性和作用已可见一斑。当然，这只是传输线功能的冰山一角。传输线可谓是高频和微波（特别是微波）的一大 法 宝。 |
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