随机变量及分布的特征参数——数字特征
引入随机变量后，随机空间(Ω,F,P)就基本具备了分析条件。首先考虑的就是提取其中的一些能表征其某些特征的参数——数字特征。
先给个一般表达式（离散分布也适用）
∫[-∞,+∞]g(x)dF(x)
其中F(x)是概率分布函数，g(x)是一个满足一定条件的函数。上式是个广义积分，在此要求其绝对可积，即
∫[-∞,+∞]|g(x)|dF(x)
存在。显然，上式表示的就是g(x)关于F(x)的平均值，求平均值无“次序”约束，故必须绝对收敛。对于连续分布（存在常规的密度函数p(x)），前式还可写成如下形式
∫[-∞,+∞]g(x)p(x)dx
下面首先考虑g(x) = x，即
Eξ = ∫[-∞,+∞]xdF(x)
其中ξ是满足分布函数F(x)的随机变量，上式表述的是随机变量ξ的一个平均值特征参数——数学期望（用Eξ表示）。“期望”意味着试验中期待出现的值，通常随机变量会出现在此值附近。
接下来考虑g(x)=(x-Eξ)^2，即
Dξ = ∫[-∞,+∞](x-Eξ)^2dF(x)
其中Eξ就是前面的数学期望，上式表述的是随机变量偏离其数学期望的一个平均值特征参数——方差。考虑到量纲和“线性”表示，通常还用根方差（标准差）√(Dξ)表述，其也表征了随机变量的某种不确定程度。
上式还可以表示成下式
Dξ = ∫[-∞,+∞]x^2dF(x) - (Eξ)^2
所以，只要知道了∫[-∞,+∞]x^2dF(x)，便知Dξ。用Eξ^2表之，则有如下表示形式
Dξ = Eξ^2 - (Eξ)^2
这就引入了“矩”，n阶原点矩定义如下
Eξ^n = ∫[-∞,+∞]x^ndF(x)
相应的，有n阶中心矩，表为
E(ξ-Eξ)^n = ∫[-∞,+∞](x-Eξ)^ndF(x)
显然，数学期望（Eξ）是一阶原点矩，而方差（Dξ）则是二阶中心矩。
除了上述“矩”外，还有混合矩（譬如协方差）。这些都是重要的数字特征，具体将在后续具体分布和实例分析中再作进一步论述。
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