各位都上过小学(别跟我说没上过,那可是法定义务教育),该知道“=”、“+”和“*”。当然,也知道“0”、“1”、“2”...,且还知道其大小关系“≤”和“<”。
各位也知道正极大——大到比任何给出的数都大,以及负极大。这在小学生眼里,虽然还没有形式语言的表述能力,但已经知道“极大”是比任何东西都大。
下面来看看这两个数项级数(别被术语搞晕了,其就是一串数字相加而已):
1 + 2 + 3 + 4 + ...
1 + 2 + 4 + 8 + ...
只要学过点加法的都知道,上面那两个东西比任何给出的数字都要大,即正无穷大——+∞,表为:
1 + 2 + 3 + 4 + ... = +∞
1 + 2 + 4 + 8 + ... = +∞
注:上式的依据是扩充实数集中元素“+∞”的属性特征,即
对于任意实数a,成立下式
a ≤ +∞
这也是“+∞”的定义。
显然,其不可能等于任何有限的数字,亦即不等于非无穷大。这里有个“非”字,逻辑上已经说明了问题,从无穷大的关系定义中也已经确定了其与有限实数的差异。若一定要给个证明,那么看看下面:
设a为一个有限实数,显然存在一个比a大的有限实数b=a+1,成立下面关系
a < b
假设
1 + 2 + 3 + 4 + ... = +∞ = a
那么根据+∞的关系定义有
b ≤ a
矛盾。
所以
1 + 2 + 3 + 4 + ... = +∞ ≠ a
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