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由“小学算术”——实数公理,所引出的....

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沙发
HWM|  楼主 | 2018-6-15 08:47 | 只看该作者
各位都上过小学(别跟我说没上过,那可是法定义务教育),该知道“=”、“+”和“*”。当然,也知道“0”、“1”、“2”...,且还知道其大小关系“≤”和“<”。

各位也知道正极大——大到比任何给出的数都大,以及负极大。这在小学生眼里,虽然还没有形式语言的表述能力,但已经知道“极大”是比任何东西都大。

下面来看看这两个数项级数(别被术语搞晕了,其就是一串数字相加而已):

    1 + 2 + 3 + 4 + ...

    1 + 2 + 4 + 8 + ...

只要学过点加法的都知道,上面那两个东西比任何给出的数字都要大,即正无穷大——+∞,表为:

    1 + 2 + 3 + 4 + ... = +∞

    1 + 2 + 4 + 8 + ... = +∞

注:上式的依据是扩充实数集中元素“+∞”的属性特征,即

对于任意实数a,成立下式

    a  ≤ +∞

这也是“+∞”的定义。


显然,其不可能等于任何有限的数字,亦即不等于非无穷大。这里有个“非”字,逻辑上已经说明了问题,从无穷大的关系定义中也已经确定了其与有限实数的差异。若一定要给个证明,那么看看下面:

设a为一个有限实数,显然存在一个比a大的有限实数b=a+1,成立下面关系

    a < b

假设

    1 + 2 + 3 + 4 + ... = +∞ = a

那么根据+∞的关系定义有

    b ≤ a

矛盾。


所以

    1 + 2 + 3 + 4 + ... = +∞ ≠ a

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板凳
HWM|  楼主 | 2018-6-15 08:48 | 只看该作者
一个数项级数发散(就算是已有确定意义的正负无穷大),某些“数学家”看着总有点“不舒服”,于是乎有好事者就搞了些有别于你们小学老师教给你们的“加法”,譬如Hölder、Cesàro、Abel和Ramanujan等几位。这里不想介绍那些“加法”,因为这并不是通常我们所用的“+”之意思。这里要关心的是其目的是什么?从相关文献资料就可以看到,其目的主要就是想通过某种“加法”使得原本发散的数项级数“收敛到”其“解析延拓”之值。注意,这是想建立从“数项级数”到其“解析延拓”间的关系

我们知道,“解析延拓”是复变函数的某种延拓关系,“数项级数”不是“函数项级数”,构不成一个“复变函数”,充其量是个常数。

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地板
HWM|  楼主 | 2018-6-15 08:50 | 只看该作者
下面再回到“小学”,看看一个极为简单的“数项级数”(具体见“前导”帖):

    1 = 1

    1 + 1 = 2

n个1相加

    1 + 1 + ... + 1 = n

问,当n趋于正无穷大时,上述级数等于多少?

这个问题其实是白问。有限项之和等于n且n趋于正无穷大,那么级数就是趋于正无穷大——+∞。简单的逻辑。

由实数系公理可知,正无穷大绝对不可能等于某个有限实数

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HWM|  楼主 | 2018-6-15 08:52 | 只看该作者
前面说过,那些“加法”的目的是为了得到相应“数项级数”的“解析延拓”。那么,针对1+1+...这个级数来找找相关的“解析延拓”。

首先得找相对应的函数项级数,自然想到的是等比级数:

    1 + z + z^2 + ... = 1/(1-z)    (|z|<1)

当z=1时,确实是发散。

但是,看看下面这个函数项级数

    1/1^z + 1/2^z + ... = ζ(z)    (Re{z}>1)

这个函数项级数,当z=0时,其就是1+1+...。而各位知道,这是与黎曼ζ函数相关的那个级数,其解析延拓(黎曼ζ函数)在原点的值就是

    ζ(0) = -1/2

那么,就算是按“解析延拓”来确定发散“数项级数”所对应的值(不是级数等于此值),也可能无定论。其实,关键问题是那些“加法”仅涉及到了数项级数,而未考虑其函数项级数的函数关系

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HWM|  楼主 | 2018-6-15 08:53 | 只看该作者
那些所谓的“加法”可以说现在是几乎没什么价值,无论是理论上还是应用上。理论上,《复变函数》中的解析延拓概念和理论已经足以支撑相关的分析;而实际应用,则早有更合理的处理方法(将在后面介绍)。

而关于小学老师所教给你们的加法——+(或者说基于实数系公理),这里要强调的是,诸如下式

    1 - 1 + 1 - ... = 1/2

    1 + 1 + 1 + ... = -1/2

    1 + 2 + 3 + ... = -1/12



    1 + 2 + 4 + ... = -1



都是极其荒谬的东西。

注:实数系公理是实分析(譬如《数学分析》)和复分析(譬如《复变函数》)的基础。

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HWM|  楼主 | 2018-6-15 08:54 | 只看该作者
你从小学老师那里学到的知识,不仅中学和大学都还有效,即便是那些数学家也必须遵循这些基本的知识。数学的发展只是从具体事物中抽象出更一般的概念和理论,而这些概念和理论必须能回到(或落实到)原本的具体事物中去。

不要怀疑你们的小学老师,他们给予了你最基本的启蒙教育,而这些教育致使你形成基本的常识。

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8
HWM|  楼主 | 2018-6-15 08:54 | 只看该作者
后面将另开帖论述“A=B+C”。

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yu鹏飞| | 2018-6-15 10:33 | 只看该作者
小时候家里穷,家里最值钱的就是一把大锁。每当天下雨的时候,我都会跑出去用身体抱住锁,用尽力气大喊:

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不起眼| | 2018-6-15 11:44 | 只看该作者
HWM 发表于 2018-6-15 08:53
那些所谓的“加法”可以说现在是几乎没什么价值,无论是理论上还是应用上。理论上,《复变函数》中的解析延 ...

呵呵,这其实是一些数学魔术。都是利用延拓的共同点归属不确定性暗中扳道叉,改变求极限的路径创造的奇迹。

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maychang| | 2018-11-4 07:50 | 只看该作者
不起眼 发表于 2018-6-15 11:44
呵呵,这其实是一些数学魔术。都是利用延拓的共同点归属不确定性暗中扳道叉,改变求极限的路径创造的奇迹 ...

“暗中扳道叉”,这句说得好,很形象。

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