关于"对某式两边取积分"

只看该作者 · 2011-10-2 22:15

比如电容的电流--电压关系的方程
i=Cdv/dt
"对上式两边取积分"得:
v=(1/C)*∫<-oo,t>idt --------------------------- (1)
(<-oo,t> "< >"号里的东西表示积分限a到b)
即: v=[(1/C)*∫<t0,t>idt] + v(t0) --------------- (2)
v(t0)表示t0时刻的电容两端电压

我不明白的是为什么(1)式的下限要取负无穷
(2)式真的是用数学的方法得到的吗? 看不出v(t0)是怎么来的..

2万 · 2011-10-2 23:06

re LZ：

两边取积分通常是不定积分，结果需要加一个常数。如果采用定积分表示的话，即上下限为t1和t0（时间段t0到t1），则同样需要加入一个常数——历史，此“历史”就是从-∞到t0的积分。加入“历史”便就是从-∞至t1的积分。如果预先知道-∞到t0的积分（即V(t0)），则就是表示成“（2）”式，其中V(t0)称为初始条件（通常设为零）。

1万 · 2011-10-3 05:23

HWM老师解释的透彻~~~

只看该作者 · 2011-10-3 17:06

:'(
惨了 2L的解释被人说透彻而我还是不懂

"如果采用定积分表示的话，即上下限为t1和t0（时间段t0到t1），则同样需要加入一个常数"
那(1)式怎么没有加常数? 是不是因为在讨论范围内已经没有比-oo更小的量了?
"本来"确实是有的 , (1)式也"应该"再加上常数=(1/C)*∫<比-oo小,-oo>idt
但在讨论范围内已经没有比-oo更小的量了所以就不表示出来了
是嘛?
总之
(1)式的意思是表示任意时段电容两端电压的绝对变化量(没加初值)
(2)式的意思是表示任意时段电容两端电压的相对变化量(有加初值)
是不是?

但是这两个式子的应该是表达同一个意思因为在(2)式之前有一个"即"字, 所以我确实还是不懂..甚至还有曲解的感觉
还是HWM老师来说吧
为什么(1)式没有加常数?

只看该作者 · 2011-10-3 17:47

然后还有个问题我的数学书上说定积分是简称为积分的那么两边取积分会不会是取定积分?

2万 · 2011-10-3 19:51

本帖最后由 HWM 于 2011-10-3 19:53 编辑

to 4L：

1）确实不能比-∞小了，因此第一个式子没有常数（初始值）。

2）用定积分也可以，具体如下：

电容的I~V关系原为

  i(t) = C dV(t) / dt

两边求t0至t1的定积分

  ∫<t0,t1> i(t) dt = C ∫<t0,t1> [dV(t) / dt] dt = C [V(t1) - V(t0)]

整理得

  V(t1) = (1 / C) ∫<t0,t1> i(t) dt + V(t0)

这样，便得到了“（2）”式

进一步，令 V(t0) = (1 / C) ∫<-∞,t0> i(t) dt，则有

  V(t1) = (1 / C) ∫<t0,t1> i(t) dt + (1 / C) ∫<-∞,t0> i(t) dt
         = (1 / C) ∫<-∞,t1> i(t) dt

这就是“（1）”式

注：

类似 V(t1) = (1 / C) ∫<t0,t1> i(t) dt + V(t0)，V(t0) = (1 / C) ∫<-∞,t0> i(t) dt 严格来说是 V(t0) = (1 / C) ∫<-∞,t0> i(t) dt + V(-∞)。但 V(-∞) = 0 （“历前”电压定为零是合理的），所以令V(t0) = (1 / C) ∫<-∞,t0> i(t) dt 是合理的。

只看该作者 · 2011-10-3 22:12

明白了过程详细谢谢! 打这些式子不容易辛苦了!
现在回头看2L说的(之前没看明白)
"两边取积分通常是不定积分，结果需要加一个常数。如果采用定积分表示的话，即上下限为t1和t0（时间段t0到t1），则同样需要加入一个常数" 这句话里的 "如果采用定积分表示的话" 意思是 : 对原式两边取不定积分得到的不定积分式子可以依现实情况确定一个积分限然后用定积分表示是这样吗

2万 · 2011-10-3 22:40

to 7L：

不定积分无上下限，表示的是被积函数的原函数。若 f(t) = dF(t) / dt，则F(t) = ∫ f(t) dt + C，其中f(t)是被积函数而F(t)则是原函数，显然原函数（F(t)）的导数就是被积函数（f(t)）。因为C为一个待定的常数，所以此积分（∫ f(t) dt + C）被称为不定积分。

定积分原则上是个固定的数（若上下限固定），所以其本身无需添加常数。但是，不定积分和定积分存在如下关系：

∫<t0,t1> f(t) dt = F(t1) - F(t0)

显然

F(t1) = ∫<t0,t1> f(t) dt + F(t0)

这就冒出个“常数”F(t0)，如果将t1看成自变量而t0为固定量的话。

1万 · 2011-10-4 05:39

HWM老师真耐心，温故而知新，俺也跟着重新学习一遍~~~

谢谢侬，HWM老师~~~

只看该作者 · 2011-10-4 12:33

老师说的是微积分基本定理2 牛顿来布尼兹公式我看明白了

想了一下觉得用基本定理1 也可以说明问题
定理1是 g(x)=∫<a,x>f(t)dt 在[a,b]内可微则g(x)是f(x)在[a,b]内的原函数

i(t)=Cdv(t)/dt
对这个两边取积分(不定积分)
∫i(t)dt=C∫[dv(t)/dt]dt
∫i(t)dt+A=Cv(t) (A为常数)
令f(t)为i(t)的原函数  , f(t)=∫i(t)dt+A
因i(t)在[a,b]内的原函数f(t)还可以等于∫<a,t>i(t)dt 所以
f(t)=∫<a,t>i(t)dt=∫i(t)dt+A
代回去得 Cv(t)=∫<a,t>i(t)dt
积分限[a,b]可以依实际情况而定

为了表示出任意时段的电容电压令a=-oo , t=t1  (负无穷表示电容还没充电,t1为任意时刻)
v(t)=(1/C)*∫<-oo,t1>i(t)dt 这样就能表示任意时段的电容电压了
不过电容是储能元件 <-oo,t1>并不能把电容的特性体现出来
如果把积分限拆开变成 v(t)=(1/C)*∫<-oo,t0>i(t)dt + (1/C)*∫<t0,t1>i(t)dt
我们通常都把t0取0  那么(1/C)*∫<-oo,t0>i(t)dt 这部分就能妥当地表示电容的初始状态了

这样讲怎么样?