在这个意义上，我们把表示这些正弦波一组正交的正弦函数称为傅立叶变换的正交基函数(也可以用复函数的形式表示)。研究表明，不仅正弦函数可以作为正交变换的基函数，而是只要满足正交完备的函数系，都可以作为基函数，对信号进行正交变换分解分析(正弦函数自然是正交完备的函数系)。因此，我们把这些变换笼统地称为“正交变换”。实用中最使人感兴趣的非正弦正交函数有雷德梅彻(Rademacher)函数、哈尔(Haar)函数和沃尔什(Wald)函数等。一段时期以来，用得最多的当属沃尔什函数，它是由沃尔什在1923年完备化的雷德梅彻函数。沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和-1，非常便于计算机运算。沃尔什函数有三种排列或编号方式，即按列率排列或沃尔什排列、佩利(Paley)排列和阿达玛(Hadamard)排列。这三种排列各有特点.而以阿达玛排列最便于快速计算。采用阿达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-阿达玛变换，简称WHT或直称阿达玛变换。由于离散正交变换的运算常以矩阵乘法的方式完成，而沃尔什-阿达玛函数组的矩阵形式只有1和-l两种元素，同时这种阿达玛短阵的规律性非常强，可以用简单的算法产生，所以WHT的快速算法很容易实现。现在，这种快速算法及其软件已经有很成熟的商品。当然，在使用这种变换时我们必须记住，它所得出的谱是以短形波为基础的。
另一种常用的正交变换是离散余弦变换DCT。已知，傅立叶变换的基函数是正弦函数，即其每一个分量是一个正弦波(或一个复向量)分量的次数决定该正弦波的频率，而各个分量的相位则构成信号的相位谱。也就是说，一个信号的傅立叶谱包括两部分，一是幅度特性，一是相位特性;或者作为复向量的实部余弦分量和作为虚部的正弦分量。换句话说，仅仅幅度特性谱并不能完整地代表该信号，而必须补克相位特性才是完整的。这当然既使表示和运算处理复杂化，又使表示信号的数据量加大。经过研究表明，如果将信号坐标的原点作适当的偏移，就可以使变换后的结果，只存在正弦波的正弦分量或余弦分量二者中的一个。这就是正弦变换或余弦变换。信号处理中的离散余弦变换DCT，就是将信号坐标的原点左移半个采样间隔得到的。DCT具有很优良的信息特性.且有有效的快速算法，所以在制定MPEG标准时，将它定为图像压缩编码的标准变换。
这一节的最后，顺便提一下离散K-L(KarhunenLover)变换。KLT通常被称为最佳变换，因为采用KLT的滤波器和信息压缩编码失真最小。但由于KLT的变换基函数是不定的，而且至今没有快速算法，所以只在特殊需要的场合才使用。 |
楼主
标题置顶
标题高亮
