微分方程与拉氏变换！

登录 · 发表于 2020-3-7 15:56

昨天帖子中谈到了微分方程，这一块知识，可以说任何一本信号与系统、高等数学、自动控制、电路原理等书籍，都会讲到，此处略去一百字。

本贴主题是：傅里叶变换、拉氏变换与微分方程之间的关系。

这个主题通过一个问题来回答：如果某个函数使用傅里叶变换不收敛，而使用拉氏变换收敛，请使用经典微分方程中的一个术语（几个字），来解释为什么会这样？

登录 · 发表于 2020-3-7 16:05

本帖最后由 xukun977 于 2020-3-7 16:13 编辑

这样讲，估计大多数人都不知所云，所以先预热。

关于微分方程的求解，如果不套用结论，而是直接求，过程是复杂的，所以大多数本科教材，都是直接给出现成的结论，让学生直接套结论，这样能节省一半以上的时间。

例如下面的微分方程：

对于此种情形，教科书上直接告诉解的一般形式，是(a1+a0*t)e^s1 t，然后学生直接待定系数法确定系数。

如果不是如此偷工减料，需要啰嗦推导好几下。

这个非齐次方程的解，由余函数+特积分构成。

登录 · 发表于 2020-3-7 17:14

上面这段推导，目的有两个，一是想说明齐次方程的解（重根）可视作是由余函数和特积分之和构成的。

另一个目的是想说明某些术语命名，是非常符合实际的。
例如特积分，可能不看文献的学生，估计都没听说过这个术语。
根据求解过程，就知道特积分这个术语的恰当了。

如果不熟悉特积分，再看一个例子，先使用老方法（教科书上说的），再用特积分方法求解。

如上面所说，这个微分方程的激励f(t)设成指数形式。

对于齐次方程的解，非常容易求出模为重根-1，和单根2，所以这个解就是余函数xc

对强迫响应的解，一般教材上都是待定系数法：

从这个求法，根本无法看出特积分是何意，我们换积分法：

从这个推导过程，可以看出为何叫特积分。

特积分有可能不简便，不实用，但是它有待定系数法无法说清的特解性质，有重要的理论意义。

登录 · 发表于 2020-3-7 17:34

本帖最后由 xukun977 于 2020-3-7 17:44 编辑

有了上面经典动态知识做铺垫，可以聊关键问题--傅里叶和拉普拉斯了。

这个函数，为何不能傅里叶变换？不能做傅里叶变换，到底是什么意思？？？？？？

微分方程与拉氏变换！

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