剖析《信号与线性系统》

2万 · 2020-9-8 10:10

《信号与系统》是一门基础课程，相关专业几乎都必须学过。其实，通常所学的仅仅是线性系统相关的知识。对于非线性系统，由于其运用到与线性系统截然不同的知识和工具，所以当属完全不同的范畴。既然《信号与系统》主要就是研究线性系统的，那么不妨就正名为《信号与线性系统》。

2万 · 2020-9-8 10:12

关于线性空间及其变换，有一门更为基础的课程——《线性代数》，关于此有个相关的帖子——剖析《线性代数》。作为相关知识入门，可以看看那个帖子

剖析《线性代数》
https://bbs.21ic.com/icview-2480964-1-1.html

2万 · 2020-9-8 10:14

《线性代数》通常涉及到有限维线性空间及其变换，而到了《信号与线性系统》则将涉及到无限不可列维线性空间及其相关的线性变换，这将涉及一些基础数学知识。关于这些基础数学，这里默认已经学过，故不具体提及。

2万 · 2020-9-8 10:15

关于《信号与线性系统》的剖析系列，将从其基本“骨架”开始，然后逐步充实至丰满。这个从下面的论述就可以看到，仅仅“几条”就把《信号与线性系统》（连续信号）勾勒出来。

2万 · 2020-9-8 10:17

下面就开始剖析《信号与线性系统》。

2万 · 2020-9-8 10:22

上面给出了信号线性空间及其相关线性变换的时间域表示。

由此，可以看看相关的一些特性。

2万 · 2020-9-8 10:26

信号还可以更换到频率域表示。

2万 · 2020-9-8 10:27

上面只是换了基底而已，而这就是通常所谓的傅里叶变换。

那么，如果给出了信号的频率域表示，又如何变换成时间域呢？

2万 · 2020-9-9 14:42

之前的线性系统（线性变换）未考虑系统的初始态，或设系统初始态为零。其实，那只是系统的零状态响应。

下面将考虑系统的初始状态，给出相应的全相应。

2万 · 2020-9-15 12:04

前面大致看了看信号的时间域分析，下面简单看一下信号的频率域分析。

2万 · 2020-9-15 12:09

上面给出了单谐信号（正弦信号）傅里叶变换，注意其频域含有δ函数（广义函数）。

下面进一步看看周期信号的频域分析。

2万 · 2020-9-15 12:13

注意周期函数傅里叶级数与相应频域分析（傅里叶变换）的关系。

周期函数频域可含一系列的δ函数，这表明了其频域的离散性。

2万 · 2020-9-25 12:05

关于傅里叶变换，下面给出几个特性：

2万 · 2020-9-27 11:52

卷积定理以及LTI系统的频域表示

2万 · 2020-9-27 11:55

卷积定理可谓是《信号与线性系统》中的一个最基本的定理，相应有LTI系统的频域表示。由此将进入到LTI系统的频域分析。

2万 · 2020-9-30 10:18

由傅里叶变换，将信号从时域变换到了频域。需注意的是，频域是从负无穷大至正无穷大的实数，即整个实数域。

因傅里叶变换后所得结果通常含广义函数，而广义函数有别于通常所见的常规函数，其不仅没有常规函数那些经典分析特性，就其理论基础也不同于常规函数，为规避这些麻烦引入了更具经典分析特性的拉普拉斯变换。

2万 · 2020-9-30 10:21

拉普拉斯变换

2万 · 2020-9-30 10:29

傅里叶变换所得是个复函数（自变量为实数），而由上述可见，拉普拉斯变换则得复变函数（通常不含广义函数）。引入了复变函数，那么《复变函数》相关理论就可以应用于此。

上述为双边拉普拉斯变换（积分限从负无穷到正无穷），下面看右单边拉普拉斯变换：

2万 · 2020-9-30 10:32

注意上述右单边拉普拉斯变换涉及到的系统初始条件，这是拉普拉斯变换自带的。

下面看几个常用的拉普拉斯变换对：

注意其收敛域（ROC）。

2万 · 2020-9-30 10:35

接下来再看看拉普拉斯变换的卷积定理：

类似傅里叶变换的卷积定理，其重要性不言而喻。

剖析《信号与线性系统》

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