绝招要记住：二阶电路的元件参数与极点之间的关系

登录 · 发表于 2021-3-2 20:55

大家都知道，我们可以把复杂的电路分解成一阶和二阶电路构成的简单电路，正所谓分而治之策略。
所以必须熟悉一阶电路和二阶电路的特点，这是基本。
其中二阶电路复杂一点，我们暂时先说二阶电路极点的变化规律。

既然要研究二阶电路的极点特征，所以我们假设系统传递函数表达式为：

传递函数的极点，相当于下面P（s)函数的零点：

登录 · 发表于 2021-3-2 21:00

本帖最后由 xukun977 于 2021-3-2 21:04 编辑

问题是：如果二阶电路中某个元件参数变化了，导致P（s）表达式中某个系数变化，那么进而导致P（s）的零点，也就是系统的极点，如何变化？？？？？

下面考察数学基本功了。

首先，请大家复习一下我以前说过的一个定理：一个参数变化，会导致函数的变化轨迹是圆！！！这里把直线视作圆的特殊情形，也就是说圆的半径为无穷大的特殊情形。

这个定理就决定了，我们上面问题的大致方向-----系统的极点变化轨迹一定是个圆（或直线）

所以我们下面只需研究这个轨迹的具体方向即可！！！

现在是复习初中代数的时刻。

规律1）如果参数c从零变到无穷大，函数P（s)的零点变化轨迹是下图：

这个问题需要知道初中代数中的韦达定理。

登录 · 发表于 2021-3-2 21:13

我来百度截个图，韦达定理：

根据这个定理，我们很清楚地看到，参数C的变化，对多项式P(s)的零点之和，没有影响。

也就是说，要想保持零点之和为定值，零点的轨迹只能这样变，没有其它可能了。

发表于 2021-3-2 21:18

仿照上面完全相同的套路，我们得到规律2）：当b从零变到无穷大，最初多项式P（s)的变化轨迹是圆的一部分,然后是直线。

仿照完全相同的套路，我们得到规律3）当a从零变到无穷大，最初多项式P（s)的变化轨迹是。。。。

登录 · 发表于 2021-3-2 21:30

基本原理就这么简单，下面开始应用这个原理。

对于下图所示的RLC电路，其传递函数Vo/Iin的零极点变化轨迹是如何变化的？？？
1)R从零增加到无穷大
2）L从零增加到无穷大
3）C从零增加到无穷大

登录 · 发表于 2021-3-3 09:21

三阶系统的零极点变化轨迹

我多次重复，经过电路分析基础训练过的学生，就跟废了一样，看到个电路，头脑中就冒出KCL和KVL，然后就有列方程、解方程的冲动。
题目解完，本应该是总结研究结论的重要时刻，但是人家一看解出答案来了，头一甩就闪人了。

于是百度上无数人总结出经验：KCL+KVL+欧姆定律，最重要，其它的都是次要的。

这就是买椟还珠的真实写照！！

解决完问题，得到的结论以后就可以直接用了，不能光记住解题步骤，全然不管结论的应用。
当然了，这种想法，是应试教育的必然结果。

下面我直接给出个三阶系统，对于其传递函数的推导，经过应试教育训练的同学，老熟练了，所以这里省略。
我们只强调结论。

登录 · 发表于 2021-3-3 09:28

对于上图所示三阶电路，两个电容一般是寄生电容，一般无法改变。
所以最重要的是检验电感L的值改变，对于极点的轨迹影响。

结果如下：

改变电感值，对于实极点P1没有影响，影响的是P2和P3.

现在是套用二阶系统研究结果的时刻：这里改变电感值L，从0到无穷大变化，此时相当于改变二阶系统中的系数C，改变系数C对极点的影响，上文已经说过了，由于要保持极点之和不变，它只能按照上图的方式改变，没有其它可能了。

登录 · 发表于 2021-3-3 09:40

本帖最后由 xukun977 于 2021-3-3 09:47 编辑

学过运放设计的应该知道，运放系统的补偿，目的是期望系统的频率响应是最平响应，此时阶跃响应的过冲是5%，对于这种情形下的巴特沃兹极点位置分布为：

如上图所示，f1的临界点是2*f0，当然f1可以再高一些，此时相位裕度更大一些，但是浪费带宽和电流，所以不能太远了。

那么对于3阶系统来说，如果仍旧期望是最平响应，极点位置该如何安置呢？？？
经过简单的推导，极点位置的规律是：到原点距离相等。

也就是说，3个极点要同一个圆上：

发表于 2021-3-3 10:18

这里为何强调轨迹的变化？？
因为电路是调试出来的。

按照理论计算得到的元件值，直接焊上电路板，此时电路性能和理论预计的一样，可能性比较低，所以要调试电路。
而调试电路的依据，就是本贴上面所说的过程：最起码要知道想改变电路的哪个性能参数，需要改变哪个电路元件值！而且还要知道元件值的变化对电路性能参数影响的过程，起码要知道变化趋势。

发表于 2021-3-3 10:23

零极点分析技术，始于上个世纪50年代，经过10年左右发展，到上个世纪60年代已经趋于成熟。

这种技术非常厉害，因为电路网络、电路网络函数、电路的性能（稳态和暂态），都与零极点图有关，尤其是正弦稳态下的滤波器和放大器设计，这种零极点图几乎是必不可少的。

登录 · 发表于 2021-3-3 10:38

本帖最后由 xukun977 于 2021-3-3 10:40 编辑

跨导线性原理的一个直接应用：

下图是一个恒定功率源电路，负载是红线标出的RL

如果事先学习过跨导线性原理，一眼就能看出负载上的功率正比于电流源IR^2
电路右边一部分是是保证这个恒定功率源正比于电阻Ro的。

如果不懂这个原理，直接套用三极管的伏安特性关系列方程，一点一点推导，那就傻了，起码要倒腾半小时。

发表于 2021-3-3 17:26

MARK，虽然用不上，就收藏下

发表于 2021-3-4 09:22

xukun977 发表于 2021-3-2 21:18
仿照上面完全相同的套路，我们得到规律2）：当b从零变到无穷大，最初多项式P（s)的变化轨迹是圆的一部分, ...

这里说的变化，是指根轨迹吗？不是函数图像
当b=0时， s1,s2互为相反数
当b趋于无穷时，多项式P(s)变成了 b*s, s趋于0
你说到的变化轨迹最初是圆的一部分，然后是直线，是怎么推导出来的。还有a变化时的结论，能否展开一下。

另外还想请教一下，在设计时，一般都是要改变极点的位置，知道极点之和，之积等各种关系，对设计帮助不大吧。

登录 · 发表于 2021-3-8 18:35

比较尴尬没学过初中数学怎么办，理解不了这个，只会照着公式算这个二次的，但是N次的应该怎么计算？

发表于 2021-3-9 09:18

收藏下

发表于 2021-3-10 15:17

学习了

发表于 2021-3-12 21:10

谢谢楼主，顶一下

绝招要记住：二阶电路的元件参数与极点之间的关系

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