傅利叶变换 , 怎么由对偶性质得到频域卷积公式?

只看该作者 · 2012-5-4 11:08

本帖最后由 3sainimu78 于 2012-5-4 11:30 编辑

接下去用定义做可以做出来不过还不如一开始就用定义做 . 而且书里说很容易就能由对偶性得到.. 真纳闷

2万 · 2012-5-4 12:40

先确定何谓“对偶”：

若存在傅里叶变换关系 FT{f(t)} = F(ω) （其中FT{}表示傅里叶变换），则有FT{F(ω)} = 2 π f(-t)（其可由傅里叶反变换直接得到）。

设 f1(t) 和 f2(t) 存在傅里叶变换 F1(ω) = FT{f1(t)} 和 F2(ω) = FT{f2(t)}，显然有相应的对偶关系 FT{F1(ω)} = 2 π f1(-t) 和 FT{F2(ω)} = 2 π f2(-t)。

由卷积定理可知：

  FT{f1(t) * f2(t)} = F1(ω) F2(ω)

根据对偶关系再用卷积定理：

  FT{F1(ω) * F2(ω)} = 2 π [2 π f1(-t) f2(-t)]

由对偶关系显然有：

  FT{f1(t) f2(t)} = F1(ω) * F2(ω) / (2 π)

只看该作者 · 2012-5-4 18:40

2# HWM

根据对偶关系再用卷积定理：

  FT{F1(ω) * F2(ω)} = 2 π [2 π f1(-t) f2(-t)]

由对偶关系显然有：

  FT{f1(t) f2(t)} = F1(ω) * F2(ω) / (2 π)

用对偶关系不是应该得到这样的吗?
FT{f1(-t) f2(-t)} = F1(-ω) * F2(-ω) / (2 π)

我试了一下 , 通过换元可以证明  FT{f1(-t) f2(-t)}= FT{f1(t) f2(t)}

不过 F1(-ω) * F2(-ω) = F1(ω) * F2(ω) 我不懂怎么理解

2万 · 2012-5-4 19:10

to 3L：

根据对偶关系再用卷积定理：

  FT{F1(ω) * F2(ω)} = 2 π [2 π f1(-t) f2(-t)]

由对偶关系 FT{FT{ f1(t) f2(t)}} = 2 π f1(-t) f2(-t) （参照形式 FT{F(ω)} = 2 π f(-t)，其中 F(ω) = FT{f(t)} ），代入得：

  FT{F1(ω) * F2(ω)} = 2 π FT{FT{ f1(t) f2(t)}} = FT{2 π FT{ f1(t) f2(t)}}

两边取逆变换得：

  F1(ω) * F2(ω) = 2 π FT{ f1(t) f2(t)}

即

  FT{f1(t) f2(t)} = F1(ω) * F2(ω) / (2 π)

4万 · 2012-5-5 09:58

好内容

只看该作者 · 2012-5-5 10:00

本帖最后由 3sainimu78 于 2012-5-5 10:02 编辑

4# HWM

精彩 , 太漂亮了

我误解颇大了..

我以为对偶性的用法就是把右边取傅利叶变换 , 然后等于2π倍的左边 , 并给t加个负号就完事了

FT{f1(t) * f2(t)} = F1(ω) F2(ω) (1)

比如对卷积定理(1)式应用对偶性 , 我以为就是这样做

FT{F1(ω) F2(ω)} = 2 π f1(-t) * f2(-t)

其实由定义很明显地就可以看出这个等式是不对的,莫名其妙的

谢谢HWM

傅利叶变换 , 怎么由对偶性质得到频域卷积公式?

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