1.原理
因为排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次幂，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一个序列，其中[x]为下标。
假设：
B[x],b[x]都是二进制序列,取值0或1。
M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow(2,0)
N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow(2,0)
pow(N,2) = M
(1) N的最高位b[n-1]可以根据M的最高位B[m-1]直接求得。
设 m 已知,因为 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <= pow(2, m/2)
如果 m 是奇数，设m=2*k+1,
那么 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),
n-1=k, n=k+1=(m+1)/2
如果 m 是偶数，设m=2k,
那么 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),
n-1=k-1,n=k=m/2
所以b[n-1]完全由B[m-1]决定。
余数 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)
(2) N的次高位b[n-2]可以采用试探法来确定。
因为b[n-1]=1，假设b[n-2]=1，则 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2), 2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),
然后比较余数M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。这种比较只须根据B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判断，其余低位不做比较。
若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设有效，b[n-2] = 1；
余数 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] - (pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；
若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设无效，b[n-2] = 0；余数 M[2] = M[1]。
(3) 同理，可以从高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。
使用这种算法计算32位数的平方根时最多只须比较16次，而且每次比较时不必把M的各位逐一比较，尤其是开始时比较的位数很少，所以消耗的时间远低于牛顿迭代法。
3. 实现代码
这里给出实现32位无符号整数开方得到16位无符号整数的C语言代码。
/****************************************/
/*Function: 开根号处理 */
/*入口参数：被开方数，长整型 */
/*出口参数：开方结果，整型 */
/****************************************/
unsigned int sqrt_16(unsigned long M)
{
unsigned int N, i;
unsigned long tmp, ttp; // 结果、循环计数
if (M == 0) // 被开方数，开方结果也为0
return 0;
N = 0;
tmp = (M >> 30); // 获取最高位：B[m-1]
M <<= 2;
if (tmp > 1) // 最高位为1
{
N ++; // 结果当前位为1，否则为默认的0
tmp -= N;
}
for (i=15; i>0; i--) // 求剩余的15位
{
N <<= 1; // 左移一位
tmp <<= 2;
tmp += (M >> 30); // 假设
ttp = N;
ttp = (ttp<<1)+1;
M <<= 2;
if (tmp >= ttp) // 假设成立
{
tmp -= ttp;
N ++;
}
}
return N;
}
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