群论和物理学（一）诺特定理：不变性、对称性和守恒律

1万 · 2024-3-4 16:49

本帖最后由 keer_zu 于 2024-3-4 17:06 编辑

拉格朗日力学的回顾：

我们知道，牛顿力学有两个“花式”升级版，一个叫做拉格朗日力学，一个叫做哈密顿力学。下面我们来回顾一下拉格朗日力学：

欧拉—拉格朗日方程原本是18世纪所谓“分析的世纪”中数学家把牛顿的物理定律从几何学的图像转化为偏微分方程的一种数学表达形式，本质上和牛顿运动定律完全等价，但是从牛顿的几何学方式过度到求解微分方程的分析方式，更适合推广。

1万 · 2024-3-4 17:11

到了20世纪初，德国数学家艾米·诺特对拉格朗日方程有了新的解读。诺特把群变换、不变量和物理的守恒定律联系了起来。

诺特就发现了在拉格朗日力学框架下，物理守恒量和无穷小变换下不变量之间的对应关系，被称为“诺特第一定理”，简称诺特定理。

诺特定理把时间和空间平移下拉格朗日作用量的不变性和物理守恒定律联系了起来，最常见的三个联系就是：

时间平移的不变性 --> 能量守恒
空间平移的不变性 --> 动量守恒
角度旋转的不变性 --> 角动量守恒

从数学上来说，对时间、空间和角度做无穷小的变换，对应于一维的李群变换。用《爱尔朗根纲领》的语言，一维李群作用下的不变量，必然对应一种几何学，而这种几何学在物理上则恰好对应于各种守恒定律。

这种把几何学和物理联系起来的观点，最早来自于19世纪的德国数学家黎曼和物理学家赫兹，而被狭义和广义相对论发扬光大。诺特定理的诞生时间，正是哥丁根的希尔伯特正在和爱因斯坦竞争（合作？）推导广义相对论场方程的1915年，而背景则是哥丁根正在讨论关于广义相对论里的“能量”是否依旧守恒。

上面给出的诺特定理是在经典力学的框架下描述的。相当重要的是，诺特定理可以推广到狭义相对论和量子力学。

1万 · 2024-3-4 17:17

值得一提的是，在物理里，更多人喜欢使用“对称性”这个词。

对称性，说的是物理系统的一个状态通过一个变换群变成了另外一个状态，而这两个状态等价，这说这个物理系统在该群变换下是“对称”的。所谓的“状态等价”，则是用不变量或者协变性来描述的。比如，在一维李群无穷小变换下的拉格朗日作用量不变（不变性），则说该系统对于李群无穷小变换是对称的。又比如，麦克斯韦方程在洛伦兹群下是变化的，但是这种变换满足协变性，则说麦克斯韦在洛伦兹群下是对称的。

所以，诺特定理，按照对称性的语言再说一遍，就是每一种对称性对应于一个守恒定律。

我们后面可以看到量子场论里，拉格朗日量不再是动能减去势能这么简单了，而是变成了这种样子（后面会仔细说）：