本帖最后由 ifreecoding 于 2012-5-22 21:50 编辑
C语言浮点数运算.pdf
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有些C语言书上说float型的有效位数是6~7位，为什么不是6位或者7位？而是一个变化的6~7位？
浮点数在内存中是如何存放的？
float浮点数要比同为4字节的int定点数表示的范围大的多，那么是否可以使用浮点数替代定点数？
为什么float型浮点数9.87654321 > 9.87654322不成立？为何10.2 - 9的结果不是1.2，而是1.1999998？为何987654321 + 987.654322的结果不是987655308.654322？
如何才能精确比较浮点数真实的大小？
看完本文档，你将会得到答案!
在论坛上或QQ群中有时会看到新同学问一些有关浮点数运算的问题，经常是走了错误的方向，但苦于交流方式不方便，无法为其详细说明，在此，我将我所掌握的一些知识加以整理写出来，希望对大家能有所帮助。更多案例请访问我的博客blog.sina.com.cn/ifreecoding。
我主要是从事底层软件开发的，最开始写驱动程序，后来也做一些简单的业务层软件，在我所涉及的工作范围内，我使用的都是定点数，而且90%以上都是无符号定点数，在我印象中并没有使用过浮点数，即使做过一个专门使用DSP来处理信号的项目，也只是使用了无符号定点数，我将在另一篇案例《C语言使用定点数代替浮点数计算》里介绍定点数处理简单的浮点数的方法，这也是在底层驱动中常使用的方法。
C语言标准C89里规定了3种浮点数，float型、double型和long double型，其中float型占4个字节，double型占8个字节，long double型长度要大于等于double型，本文档将以float型为例进行介绍，double型和long double型只是比float型位数长，原理都是一样的。
float型可以表示的范围是-3.402823466e38~3.402823466e38，而作为同为4个字节的定点数却只能表示-2147483648~2147483647的范围，使用同样的内存空间，浮点数却能比定点数表示大得多的范围，这是不是太神奇了？既然浮点数能表示这么大的范围，那么我们为何不使用浮点数来代替定点数呢？
先不说浮点数实现起来比较复杂，有些处理器还专门配置了硬件浮点运算单元用于浮点运算，主要原因是浮点数根本就无法取代定点数，因为精度问题。鱼和熊掌不可兼得，浮点数表示了非常大的范围，但它失去了非常准的精度。在说明精度问题前，我们先了解一下浮点数的格式。
ANSI/IEEE Std 754-1985标准IEEE 754是最广泛使用的二进制浮点数算术标准，被许多CPU与浮点运算器所采用。IEEE
754规定了多种表示浮点数值的方式，在本文档里只介绍32bits的float浮点类型。它被分为3个部分，分别是符号位S（sign bit）、指数偏差E（exponent bias）和小数部分F（fraction）。
S(1bit) E(8bits) F(23bits)
其中S位占1bit，为bit31。S位为0代表浮点数是正数，S位为1代表浮点数是负数，比如说0x449A522C的S位为0，表示这是一个正数，0x849A522C的S位为1，表示这是一个负数。
E位占8bits，为bit23~bit30。E位代表2的N次方，但需要减去127，比如说E位为87，那么E位的值为2（87-127）=9.094947017729282379150390625e-13。
F位占23bits，为bit0~bit22。F位是小数点后面的位数，其中bit22是2-1=0.5，bit21是2-2=0.25，以此类推，bit0为2-23=0.00000011920928955078125。但F位里隐藏了一个1，也就是说F位所表示的值是1+（F位bit22~bit0所表示的数值），比如说F位是0b10100000000000000000001，只有bit22、bit20和bit0为1，那么F位的值为1+(2-1+2-3+2-23)，为1.62500011920928955078125。
综上所述，从二进制数换算到浮点数的公式为：(-1)S×2E-127×(1+F)。但还有几个特殊的情形：
u 若E位为0并且F位也为0时表示浮点数0，此时浮点数受S位影响，表现出+0和-0两种0，但数值是相等的。比如二进制数0x00000000表示+0，二进制数0x80000000表示-0。
u 若E位为0并且F位不为0时浮点数为(-1)S×2-126×F，注意，E位的指数是-126，而不是0-127=-127，而且F位是0.xx格式而不是1.xx格式，比如0x00000001的浮点数为2-126×2-23=1.4012984643248170709237295832899e-45，而不是20-121×（1+2-23）。一旦E为不为0，从0变为1，不是增加2倍的关系，因为公式改变了。
u 若E位为255并且F位不为0时表示非数值，也就是说是非法数，例如0x7F800001。
u 若E位为255并且F位为0时表示无穷大的数，此时浮点数受S位影响，例如0x7F800000表示正无穷大，0xFF800000表示负无穷大。当我们使用1个数除以0时，结果将被记作0x7F800000。
浮点型在多个处理器间通信时，传递的数值是它的二进制数，比如说1234.5678这个浮点数的二进制数是0x449A522B，如果使用串口发送的话，就会发现串口里发送的是0x44、0x9A、0x52和0x2B这4个数（发送的顺序也可能是逆序，这与约定的字节序有关，与浮点格式无关），接收端接收到这4个数字后再组合成0x449A522B，按照IEEE 754的定义被解析成1234.5678，这样就实现浮点数通信了。如果两个处理器所使用的浮点数规则不同，则无法传递浮点数。
浮点数的换算下面来看看浮点数与二进制数如何转换。
例1，二进制数换算成浮点数：
假如在内存中有一个二进制数为0x449A522C，先将十六进制转换成二进制，如下：
0100 0100 1001 1010 0101 0010 0010 1100
按照SEF的格式分段，如下：
0 10001001 00110100101001000101100
这个数值不是特殊的情形，可以按照公式(-1)S×2E-127×(1+F)转换。S位的值为(-1)0=1，E位的值为2137-127=1024。F位的值为1+2-3+2-4+2-6+2-9+2-11+2-14+2-18+2-20+2-21= 1.205632686614990234375。最终结果为1×1024×1.205632686614990234375= 1234.56787109375。
其中F位比较长，使用二进制方式转换比较麻烦，也可以先转换成十六进制再计算，转换为十六进制如下：
0011 0100 1010 0100 0101 1000
0x3 0x4 0xA 0x4 0x5 0x8
F位为23bits，需要在最后补一个0凑成24bits，共6个十六进制数。F位的值为1+3×16-1+4×16-2+10×16-3+4×16-4+5×16-5+8×16-6=1.205632686614990234375，与上面使用二进制方法得到的结果相同。
例2，浮点数换算成二进制数：
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