开根号算法

只看该作者 · 2024-11-19 09:03

1.原理
因为排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次幂，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一个序列，其中[x]为下标。

假设：
B[x],b[x]都是二进制序列,取值0或1。
M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow(2,0)
N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow(2,0)
pow(N,2) = M

(1) N的最高位b[n-1]可以根据M的最高位B[m-1]直接求得。
设 m 已知,因为 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <= pow(2, m/2)
如果 m 是奇数，设m=2*k+1,
那么 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),
n-1=k, n=k+1=(m+1)/2
如果 m 是偶数，设m=2k,
那么 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),
n-1=k-1,n=k=m/2
所以b[n-1]完全由B[m-1]决定。
余数 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)

(2) N的次高位b[n-2]可以采用试探法来确定。
因为b[n-1]=1，假设b[n-2]=1，则 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2), 2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),
然后比较余数M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。这种比较只须根据B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判断，其余低位不做比较。
若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设有效，b[n-2] = 1；
余数 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] - (pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；
若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设无效，b[n-2] = 0；余数 M[2] = M[1]。

(3) 同理，可以从高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。

使用这种算法计算32位数的平方根时最多只须比较16次，而且每次比较时不必把M的各位逐一比较，尤其是开始时比较的位数很少，所以消耗的时间远低于牛顿迭代法。

3. 实现代码
这里给出实现32位无符号整数开方得到16位无符号整数的C语言代码。

/****************************************/
/*Function: 开根号处理                */
/*入口参数：被开方数，长整型          */
/*出口参数：开方结果，整型             */
/****************************************/
unsigned int sqrt_16(unsigned long M)
{
   unsigned int N, i;
unsigned long tmp, ttp; // 结果、循环计数
if (M == 0)             // 被开方数，开方结果也为0
      return 0;

N = 0;

tmp = (M >> 30);       // 获取最高位：B[m-1]
M <<= 2;
if (tmp > 1)             // 最高位为1
{
      N ++;                // 结果当前位为1，否则为默认的0
      tmp -= N;
}

for (i=15; i>0; i--)    // 求剩余的15位
{
      N <<= 1;             // 左移一位

      tmp <<= 2;
      tmp += (M >> 30);    // 假设

      ttp = N;
      ttp = (ttp<<1)+1;

      M <<= 2;
      if (tmp >= ttp)    // 假设成立
      {
         tmp -= ttp;
         N ++;
      }

}

return N;
}

只看该作者 · 2025-1-24 07:23

原理是什么？我需要解释一下原理

只看该作者 · 2025-1-23 20:54

如果您需要实现自己的平方根算法，二分搜索法方法是一种简单且相对高效的方法。

2万 · 2025-1-23 15:45

一般场景使用DSP-LIB就可以了啊

只看该作者 · 2025-1-23 14:51

如果是对一组固定的数频繁求开根号，可以预先计算这些数的平方根并存储在一个查找表中。在实际运行时，直接从表中获取结果，避免重复计算。不过这种方法需要占用一定的存储空间来存放查找表。

1万 · 2025-1-23 12:04

double myApproxSqrt(double a) {
int n = (int)sqrt(a); // 先得到最接近的整数
double x = (a - n * n) / (n * n);
double result = n * (1 + x / 2 - x * x / 8 + x * x * x / 16);
return result;
}

1万 · 2025-1-21 22:59

现代处理器通常包含专门的浮点运算单元（FPU），这些单元能够高效地执行平方根等复杂数**算。确保编译器和代码设置能够充分利用这些硬件特性。

2万 · 2025-1-21 22:38

#include <stdio.h>

int sqrt_binary_search(int N) {
int low = 0, high = N, mid;
while (low <= high) {
      mid = low + (high - low) / 2;
      if (mid * mid == N) return mid;
      if (mid * mid < N) {
         low = mid + 1;
      } else {
         high = mid - 1;
      }
}
return high;  // 返回小于等于平方根的最大整数
}

int main() {
int number = 25;
int result = sqrt_binary_search(number);
printf("The integer square root of %d is %d\n", number, result);
return 0;
}

只看该作者 · 2025-1-21 20:10

对于固定范围内的数值，可以预先计算并存储平方根值，通过查表来获取结果。这种方法适用于需要频繁计算平方根且数值范围有限的场景。

只看该作者 · 2025-1-21 18:57

快速逆平方根算法最初在《雷神之锤III竞技场》的源代码中被发现，它使用了一些数学技巧和查找表来快速计算1/sqrt(x)。

1万 · 2025-1-20 20:06

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define TABLE_SIZE 10000
double sqrt_table[TABLE_SIZE];

void initialize_sqrt_table() {
for (int i = 0; i < TABLE_SIZE; i++) {
sqrt_table[i] = sqrt(i);
}
}

double sqrt_lookup(int number) {
if (number < 0 || number >= TABLE_SIZE) {
return -1.0; // 处理超出范围的情况
}
return sqrt_table[number];
}

int main() {
initialize_sqrt_table();
int number = 25;
double result = sqrt_lookup(number);
printf("The square root of %d is %.2f\n", number, result);
return 0;
}

只看该作者 · 2025-1-20 19:02

对于某些应用，可以接受一定程度的误差，此时可以使用近似算法来提高计算速度。例如，可以使用多项式逼近或者其他数学技巧来快速估计平方根。

只看该作者 · 2025-1-20 15:09

如果你需要自己实现开根号算法，二分查找法是一个简单且相对高效的方法。

只看该作者 · 2025-1-20 14:16

double sqrt_newton(double num, double guess) {
double epsilon = 0.00001; // 精度阈值
while (fabs(guess * guess - num) > epsilon && guess > 0) {
guess = (guess + num / guess) / 2;
}
return guess;
}

只看该作者 · 2025-1-20 13:28

double sqrt_newton(double number) {
double guess = number / 2.0;
double epsilon = 0.00001; // 定义精度
while (abs(guess * guess - number) > epsilon) {
guess = (guess + number / guess) / 2.0;
}
return guess;
}

只看该作者 · 2025-1-20 10:51

#include <stdio.h>

double sqrt_newton(double N) {
double x = N / 2.0;  // 初始猜测值
double epsilon = 1e-7;  // 精度
double x_next;

do {
      x_next = 0.5 * (x + N / x);
      if (fabs(x_next - x) < epsilon) break;
      x = x_next;
} while (1);

return x_next;
}

int main() {
double number = 25.0;
double result = sqrt_newton(number);
printf("The square root of %.2f is %.7f\n", number, result);
return 0;
}

只看该作者 · 2025-1-19 23:01

单片机上也可以用吗

只看该作者 · 2025-1-18 21:56

在迭代过程中，尽量使用乘法代替除法，因为乘法通常比除法更快。

只看该作者 · 2025-1-17 21:14

牛顿迭代法是一种更快收敛到结果的方法，它通过迭代逼近平方根。

只看该作者 · 2025-1-17 17:39

#include <math.h>
double a = 2.0;
double result = sqrt(a);

1万 · 2025-1-17 16:11

不要过度追求精度，因为这会增加计算量。根据需要选择合适的精度。

开根号算法

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