本帖最后由 HWM 于 2012-6-13 22:11 编辑
单位阶跃函数（u(t)）是个基本函数，通常的直流电源就用其表示（如 U0 u(t) 或 I0 u(t)）。阶跃函数的拉普拉斯变换是
L[u(t)] = 1 / S
傅立叶变换是
F[u(t)] = 1 / (j ω)
不存在傅立叶级数。
可见，阶跃函数的谱密度为 1 / |ω|
（严格应该是 F[u(t)] = π δ(ω) + 1 / (j ω)，δ(t) 是单位冲击函数）
若有一个系统的传递函数是 H(S)，单位阶跃响应的拉普拉斯变换就是
Uout(S) = H(S) / S
显然，H(S) = S Uout(S)，这是个连续谱。
由于理想阶跃函数（u(t)）在现实中并不存在，所以上述仅是个理论层面上的“解”而已。此外，若考虑离散数值计算，还会引入相应的附加误差。虽然存在误差，利用时频域变换还是可计算出相应系统的数值近似解。
下面从另一个角度针对特例给出一些估算，这或许有点意义。
先给出几个关系：
由初值定理
H(∞) = f(0) （通常为零）
S H(S) [S = ∞] = f'(0)
其中 f(t) 为阶跃响应的时域函数，f'(t) = df(t)/dt，H(S) 为传递函数。
由终值定理
H(0) = f(∞)
1）一阶低通
传递函数为
H(S) = K / (τ S + 1)
由初终值定理，有
K = f(∞)
τ = K / f'(0)
这是个精确计算
2）二阶低通（全极点）
传递函数为
H(S) = K ω0^2 / (S^2 + (ω0 / Q) S + ω0^2)
由终值定理，有
K = f(∞)
若阶跃响应（f(t)）存在明显的振铃，根据振铃形态可由下式估算出 ω0 和 Q
e^[(-1 / (2 Q) + j √(1 - 1 / (2 Q)^2)) ω0 t] |
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