前些时候，有人讨论中西方的数学家，列出了一堆人物。我曾说，无须比较，看看教科书即可。其实，中西方的科技对比，看对数学的态度就可见一斑。
下面先给出一堆纯数学：
设实线性空间L上有双线性函数
y=f(A,B)
其中，y∈R，A∈L，B∈L。且满足
1） f(A,A) ≥ 0
2） f(A,A) = 0，当且仅当 A=0
3） f(A,B) = f(B,A)
这就定义了一个内积，表示为
[A,B] = f(A,B)
对于任一A∈L，定义其模（或称范数）为
‖A‖ = √[A,A]
由于成立柯西-施瓦茨不等式
[A,B] ≤ ‖A‖‖B‖
所以存在主值内唯一θ，成立下式
[A,B] = ‖A‖‖B‖cos(θ)
此θ也称为A和B的“夹角”。
下面说明两个非常重要且有用的概念
1）正交
对于任意属于L的A和B，如果[A,B]=0则认为其正交（显然相应的夹角θ=90°）
2）线性相关
对于任意属于L的A和B，如果存在不全为零的k1和k2，成立
k1 A + k2 B = 0
则称A和B线性相关。显然若A和B都非零的话，k1和k2也必然都非零，即存在非零k成立
A = k B
如果k>0，则称A和B同向，反之反向（显然，正向夹角θ=0°，反向夹角θ=180°）。
下面再推出两个重要的结论
1）[A+B,A+B] = [A,A] + [B,B]，当且仅当A和B正交。
由于
[A+B,A+B] = [A,A] + [B,B] + 2[A,B]
显然[A+B,A+B] = [A,A] + [B,B]当且仅当[A,B]=0，即A和B正交。
2）‖A+B‖=‖A‖+‖B‖（或[A,B]=‖A‖‖B‖），当且仅当A和B同向。
先说明‖A+B‖=‖A‖+‖B‖和[A,B]=‖A‖‖B‖是一回事。
有模（或范数）定义，可知
‖A+B‖² = [A+B,A+B]
= [A,A] + [B,B] + 2[A,B]
= ‖A‖² + ‖B‖² + 2[A,B]
对比
(‖A‖+‖B‖)² = ‖A‖² + ‖B‖² + 2‖A‖‖B‖
可知其确实是一回事。
下面证明同向是其必要条件。设C=λB，计算下式
[A-C,A-C] = [A-λB,A-λB]
= [A,A] + λ²[B,B] - 2λ[A,B]
= ‖A‖² + λ²‖B‖² - 2λ‖A‖‖B‖
= (‖A‖ - λ‖B‖)²
显然，存在λ>0，成立
[A-C,A-C] = [A-λB,A-λB] = 0
即
A = λB
A和B同向。条件的充分性证明非常简单，此略。
到了这里，就可以给点具体的东西：
设L是所有周期为T的函数，显然此L为一个线性空间（具体自己证明）。此外，定义内积（自己证明是否满足内积的定义条件）
[A(t),B(t)] = ∫[T] A(t)B(t)dt/T
这里，就该落实到《电路》中去了：
这是什么？显然
1）[A(t),B(t)]就是（周期）平均功率，若A(t)为电压而B(t)为电流。
2）‖A(t)‖和‖B(t)‖就是相应的有效值。
至此，可以看到
1）平均功率可“叠加”，即
[A+B,A+B] = [A,A] + [B,B]
的充要条件是A和B正交。
2）有效值可“叠加”（或平均功率可由有效值相乘），即
‖A+B‖=‖A‖+‖B‖（或[A,B]=‖A‖‖B‖）
的充要条件是A和B同向。
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