最近看了几个关于“傅里叶”的帖子，虽然点了一些东西，但觉不够完整，有必要完整地阐述一下，从中也可以体会一下《数学》。
按相关概念展开：
一）欧几里得空间
1）三维一般情形
空间中任意一点P可表示成
P = x i + y j + z k
其中，i、j和k为笛卡儿坐标上的三个相互垂直单位向量，x、y和z是相应的坐标值（也是投影）。显然，空间中的任意向量都可以由上式表示，所以此垂直单位向量是完备的。
欧几里得空间有内积
[P1,P2] = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
其中
P1 = x1 i + y1 j + z1 k
P2 = x2 i + y2 j + z2 k
模方（长度平方）为
|P|² = x² + y² + z²
2）二维平面空间
对于坐标i和j，平面上的任意一点P可表示成
P = x i + y j
若将坐标绕原点逆时针旋转角度θ的到新坐标向量i'和j'，相应的坐标值为x'和y'，则有关系
x' = (cosθ)x + (sinθ)y
y' = -(sinθ)x + (cosθ)y
注意，这个变换下有
|P| = |P'|
其中，P' = x' i + y' j。这是显然，转动一下坐标，向量长度自然不变。
3）二维平面空间的复数域拓广
前面二维空间是个实空间（坐标值为实数），现在将其拓广到复数域（坐标可为复数）。复数域拓广的目的是为了引入下面一组向量
X' = (X + Y)/√2
Y' = (-i X + i Y)/√2 = (e^(-iπ/2) X + e^(iπ/2) Y)/√2
为了区别于虚数符号i，这里的单位坐标向量改用大写X和Y表示。
注意第二个向量的第二个表达式，能看出点东西吗？（提示：e^(iπn/2)，n=-1,0,1）
这同样是一组相互垂直的单位向量，可用其作为一个坐标向量（类似X和Y）。下面建立起这两个坐标系的坐标值关系
x' = (x + y)/√2
y' = i(-x + y)/√2
显然，|P| = |P'|。其中P' = x' X + y' Y
二）希尔伯特空间
名字听起来怪怪的，其实简单得很。这里给个特例——复函数空间{f(x)}（平方可积），其中x是实数，而其函数可以是复数，且其上定义了个内积。
1）希尔伯特空间上的内积
设f(x)和g(x)为复函数，g⁺(x)为g(x)的共轭，则定义下式为f(x)和g(x)的内积
∫[-∞,∞]f(x)g⁺(x)dx
记为[f(x),g(x)]，一般是个复数。特殊地，定义
∫[-∞,∞]f(x)f⁺(x)dx = ∫[-∞,∞]|f(x)|²dx
为f(x)范数的平方，记为‖f(x)‖²。由于平方可积，所以范数存在。
2）标准正交基
如果是三维空间，笛卡尔坐标是个非常普通的概念。若其坐标用单位长矢量表示（如i、j和k），则就是个标准正交基。由此可见，所谓标准正交基，其就是空间中一组相互正交且单位长度的坐标向量。希尔伯特空间是个复函数空间，其为无限维空间，意味着标准正交基由无限个“坐标”函数组成，下面给出其中一个标准正交基——自然基
b(x) = δ(x-x0) （x和x0为实数）
由于
[δ(x-x1),δ(x-x2)] = δ(x1-x2)
表明其正交归一。而由于任意复函数f(x)可表示成
f(x) = ∫[-∞,∞]f(χ)δ(χ-x)dχ
则表明其完备，即可构成一组基。
此外，再给出另一个常用的标准正交基
b(x) = e^(j 2πf x) （f和x为实数）
同样由于
[e^(j 2πf1 x),e^(j 2πf2 x)] = δ(f1-f2)
表明其正交归一。而由于任意平方可积的函数f(x)可表示成
f(x) = ∫[-∞,∞]F(f)e^(j 2πf x)df
其中
F(f) = ∫[-∞,∞]f(x)e^(-j 2πf x)dx
则表明其完备，即可构成一组基。
3）投影
希尔伯特空间中的函数可视为向量，其“坐标”就是相关标准正交基上的投影。投影的一般表示为内积
[f(x),b(x)]
显然
[f(x),δ(x-x0)] = f(x0)
而
[f(x),e^(j 2πf x)] = F(f)
这说明，函数f(x0)和F(f)是相应不同标准正交基δ(x-x0)和e^(j 2πf x)上的投影。而从关系式
f(x) = ∫[-∞,∞]F(f)e^(j 2πf x)df
和
F(f) = ∫[-∞,∞]f(x)e^(-j 2πf x)dx
中可见，其又是傅里叶变换关系。
4）酉变换
所谓酉变换就是保持“长度”不变的线性变换。三维空间中的坐标转动变换就是个酉变换，其不会改变空间中的长度。可以证明，傅里叶变换也是个酉变换即
‖f(x)‖ = ‖F(f)‖
这也表明了，傅里叶变换不改变信号“能量”。
由上可见，傅里叶变换完全可以理解为希尔伯特空间（欧几里得空间的推广）上的“坐标变换”。这其实是对同样一个信号采用不同坐标下的表示。当然，相应的坐标表示必须是有助于分析，否则就失去了其意义。而时频域变换的本质意义也在于此。
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