酱油启示录——62

发表于 2013-10-28 10:13

最近看了几个关于“傅里叶”的帖子，虽然点了一些东西，但觉不够完整，有必要完整地阐述一下，从中也可以体会一下《数学》。

按相关概念展开：

一）欧几里得空间

1）三维一般情形

空间中任意一点P可表示成

P = x i + y j + z k

其中，i、j和k为笛卡儿坐标上的三个相互垂直单位向量，x、y和z是相应的坐标值（也是投影）。显然，空间中的任意向量都可以由上式表示，所以此垂直单位向量是完备的。

欧几里得空间有内积

[P1,P2] = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

其中

P1 = x1 i + y1 j + z1 k
P2 = x2 i + y2 j + z2 k

模方（长度平方）为

|P|² = x² + y² + z²

2）二维平面空间

对于坐标i和j，平面上的任意一点P可表示成

P = x i + y j

若将坐标绕原点逆时针旋转角度θ的到新坐标向量i'和j'，相应的坐标值为x'和y'，则有关系

x' = (cosθ)x + (sinθ)y
y' = -(sinθ)x + (cosθ)y

注意，这个变换下有

|P| = |P'|

其中，P' = x' i + y' j。这是显然，转动一下坐标，向量长度自然不变。

3）二维平面空间的复数域拓广

前面二维空间是个实空间（坐标值为实数），现在将其拓广到复数域（坐标可为复数）。复数域拓广的目的是为了引入下面一组向量

X' = (X + Y)/√2
Y' = (-i X + i Y)/√2 = (e^(-iπ/2) X + e^(iπ/2) Y)/√2

为了区别于虚数符号i，这里的单位坐标向量改用大写X和Y表示。

注意第二个向量的第二个表达式，能看出点东西吗？（提示：e^(iπn/2)，n=-1,0,1）

这同样是一组相互垂直的单位向量，可用其作为一个坐标向量（类似X和Y）。下面建立起这两个坐标系的坐标值关系

x' = (x + y)/√2
y' = i(-x + y)/√2

显然，|P| = |P'|。其中P' = x' X + y' Y

二）希尔伯特空间

名字听起来怪怪的，其实简单得很。这里给个特例——复函数空间{f(x)}（平方可积），其中x是实数，而其函数可以是复数，且其上定义了个内积。

1）希尔伯特空间上的内积

设f(x)和g(x)为复函数，g⁺(x)为g(x)的共轭，则定义下式为f(x)和g(x)的内积

∫[-∞,∞]f(x)g⁺(x)dx

记为[f(x),g(x)]，一般是个复数。特殊地，定义

∫[-∞,∞]f(x)f⁺(x)dx = ∫[-∞,∞]|f(x)|²dx

为f(x)范数的平方，记为‖f(x)‖²。由于平方可积，所以范数存在。

2）标准正交基

如果是三维空间，笛卡尔坐标是个非常普通的概念。若其坐标用单位长矢量表示（如i、j和k），则就是个标准正交基。由此可见，所谓标准正交基，其就是空间中一组相互正交且单位长度的坐标向量。希尔伯特空间是个复函数空间，其为无限维空间，意味着标准正交基由无限个“坐标”函数组成，下面给出其中一个标准正交基——自然基

b(x) = δ(x-x0) （x和x0为实数）

由于

[δ(x-x1),δ(x-x2)] = δ(x1-x2)

表明其正交归一。而由于任意复函数f(x)可表示成

f(x) = ∫[-∞,∞]f(χ)δ(χ-x)dχ

则表明其完备，即可构成一组基。

此外，再给出另一个常用的标准正交基

b(x) = e^(j 2πf x) （f和x为实数）

同样由于

[e^(j 2πf1 x),e^(j 2πf2 x)] = δ(f1-f2)

表明其正交归一。而由于任意平方可积的函数f(x)可表示成

f(x) = ∫[-∞,∞]F(f)e^(j 2πf x)df

其中

F(f) = ∫[-∞,∞]f(x)e^(-j 2πf x)dx

则表明其完备，即可构成一组基。

3）投影

希尔伯特空间中的函数可视为向量，其“坐标”就是相关标准正交基上的投影。投影的一般表示为内积

[f(x),b(x)]

显然

[f(x),δ(x-x0)] = f(x0)

而

[f(x),e^(j 2πf x)] = F(f)

这说明，函数f(x0)和F(f)是相应不同标准正交基δ(x-x0)和e^(j 2πf x)上的投影。而从关系式

f(x) = ∫[-∞,∞]F(f)e^(j 2πf x)df

和

F(f) = ∫[-∞,∞]f(x)e^(-j 2πf x)dx

中可见，其又是傅里叶变换关系。

4）酉变换

所谓酉变换就是保持“长度”不变的线性变换。三维空间中的坐标转动变换就是个酉变换，其不会改变空间中的长度。可以证明，傅里叶变换也是个酉变换即

‖f(x)‖ = ‖F(f)‖

这也表明了，傅里叶变换不改变信号“能量”。

由上可见，傅里叶变换完全可以理解为希尔伯特空间（欧几里得空间的推广）上的“坐标变换”。这其实是对同样一个信号采用不同坐标下的表示。当然，相应的坐标表示必须是有助于分析，否则就失去了其意义。而时频域变换的本质意义也在于此。

发表于 2013-10-28 10:49

好贴！--尽管没看懂到底想表达什么意思，以及这些东东在实践中有什么用。

发表于 2013-10-28 10:50

傅里叶变换由如下两个式子表叔：

f(x) = ∫[-∞,∞]F(f)e^(j 2πf x)df

F(f) = ∫[-∞,∞]f(x)e^(-j 2πf x)dx

这也称之为傅里叶积分。

这里有个性质，若f(x)为实数（信号时域表达都是实的），则F(f)是个“模”偶对称而“相角”奇对称的复函数。若将

e^(j 2πf x)

理解为“相量”（复平面上的一个旋转的向量），则显然是成对出现。即为

F(f)e^(j 2πf x)
F(-f)e^(-j 2πf x)

注意到上面是两个相互共轭的复数，其和必然是实数。

发表于 2013-10-28 11:27

膜拜

发表于 2013-10-28 11:45

发表于 2013-10-28 13:26

飘过。。。

发表于 2013-10-28 19:05

再来点实在的——离散时间傅里叶变换：

设有一组离散时间信号量

x[n] （n = 0,1,2,...,N-1）

将其延拓成周期为N的周期离散时间信号，同样用x[n]表示。考虑周期内的自然基

b[n] = δ[n-n0] （n0 = 0,1,2,...,N-1，δ[n]=1当n=0，δ[n]=0当n≠0）

显然，x[n0]是坐标向量δ[n-n0]下的投影（坐标值）。信号可表示为

x[n] = Σ[m=0,N-1]x[m]δ[m-n]

下面引入另一个标准正交基

b[n] = e^(j2πk n/N)/√N （k = 0,1,..,N-1）

信号在此基下的投影（坐标值）为

a[k] = [x[n],e^(j2πk n/N)/√N] （k = 0,1,..,N-1）
= Σ[n=0,N-1]x[n]e^(-j2πk n/N)/√N

容易验证

x[n] = Σ[k=0,N-1]a[k]e^(j2πk n/N)/√N

通常，把上面式子改成如下形式

x[n] = Σ[k=0,N-1]a[k]e^(j2πk n/N)

a[k] = Σ[n=0,N-1]x[n]e^(-j2πk n/N)/N

但这样就不是酉变换了，差个因子N。

发表于 2013-10-28 19:31

哎，老抽始终弄不明白我等在想什么。。。

for example:我们只需知道1+1=2就够了，至于1+1=2是怎么来的，是从石头缝里崩出来的，还是从大树杈上掉下来的，我们毫不关心，也毫无兴趣。。。

发表于 2013-10-28 21:07

xukun977 发表于 2013-10-28 20:55
老抽，你来这论坛已经10几年了，可谓元老，可是你没发现10几年都白逛了吗？
我们不明白你说什么，你也不 ...

做工程的，见得太多了....

至于在此，打酱油而已。不过，那什么“心思”，看得很明白。

发表于 2013-10-28 21:40

用向量空间定义傅里叶变换是最直观的方式......搞不懂为什么国内这些教材都避开希尔伯特空间不提非要从积分上定义......明明在内积空间里不证自明的结论非要用复杂的积分推倒......

发表于 2013-10-29 08:38

:)知心交友链接
https://bbs.21ic.com/forum.php?mod=viewthread&tid=633078&fromuid=471730

[电路/定理] 酱油启示录——62

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