欧拉公式的问题

只看该作者 · 2013-12-17 22:16

e^(jwt)=sin(wt)+jcos(wt)
欧拉公式是这样的，
这个函数有没有具体的图形呀？
另外复平面和直角平面坐标系有什么关系了，欧拉公式可不可以这样来理解，直角平面坐标中的sin（WT）和复平面jcos（WT）相互叠加才有e^(jwt)

只看该作者 · 2013-12-17 22:35

“这个函数有没有具体的图形呀？”

没有。

“另外复平面和直角平面坐标系有什么关系了，欧拉公式可不可以这样来理解，直角平面坐标中的sin（WT）和复平面jcos（WT）相互叠加才有e^(jwt)”

复平面是复数虚实部的直角坐标表示。但由于虚实的特殊关系（如i i = -1），所以其不能单纯地理解为二维的直角笛卡尔坐标。复数确实满足“矢量”叠加，但这里“直角平面坐标中的sin（WT）和复平面jcos（WT）”说法不对，正确说法是其为实部（就是”cos（WT）“）和虚部（就是“jsin（WT）”）相加。

只看该作者 · 2013-12-17 23:19

请参考 wikipedia : Euler's formula

只看该作者 · 2013-12-20 17:31

路过打酱油。。发表于 2013-12-17 22:35
“这个函数有没有具体的图形呀？”

没有。

没有具体图形的函数，你不觉得奇怪吗？
虽然我看书上也是那样用平面坐标去表示复平面，但是对一个信号进行傅立叶变换后，总会有一个虚部，因为信号大多能画出来才能研究，如果那个虚部也是信号的一部分，那又代表什么了？

只看该作者 · 2013-12-23 09:17

小营七郎发表于 2013-12-20 17:31
没有具体图形的函数，你不觉得奇怪吗？
虽然我看书上也是那样用平面坐标去表示复平面，但是对一个信号进 ...

“没有具体图形的函数，你不觉得奇怪吗？”

这不是什么函数，因为没给定具体的“自变量”（譬如数域）。

“虽然我看书上也是那样用平面坐标去表示复平面，但是对一个信号进行傅立叶变换后，总会有一个虚部，因为信号大多能画出来才能研究，如果那个虚部也是信号的一部分，那又代表什么了？”

实信号傅立叶变换后具有对称性（实部偶对称，虚部奇对称），虚部合并抵消。这里的虚部只是为了数学上表示形式的简约目的而已。

只看该作者 · 2013-12-23 10:47

路过打酱油。。发表于 2013-12-23 09:17
“没有具体图形的函数，你不觉得奇怪吗？”

这不是什么函数，因为没给定具体的“自变量”（譬如数域）。 ...

恩，谢谢了。看来我还得多理解复变函数的，不然看信号与系统总想不明白。

只看该作者 · 2013-12-23 14:25

可以用单位圆来帮助理解，
信号与系统书上应该有阿。。

只看该作者 · 2013-12-23 14:47

一般来说，
在实变函数中，自变量就1个在x轴上，因变量在y轴上，函数的图像可以画在一个坐标系里面。
在复变函数中，自变量有2部分，有实部a和虚部b，对应的点组成一个区域。就是说自变量对应一个区域(不仅仅在x轴上)，经过函数运算之后的变量也对应一个区域（不仅仅在y轴上)。所以复变函数要用图像表示的话，一个坐标系通常是不够的，而是要2个。复变函数关系是图像的映射关系。比如说，可以把一个半平面映射到单位圆(把y轴看成半径无穷大的圆，再把半径缩到1)。