路过上堂《高等数学》课（按理都应该懂得那种,除非你没受过相应的教育）——求解指数函数的导数。即
f(x)=a^x
求
(d/dx)f(x) = (d/dx)a^x = ?
按定义，有
(d/dx)a^x = lim[∆x→0]((a^(x+∆x)-a^x)/∆x)
= a^x lim[∆x→0]((a^∆x-1)/∆x)
= M(a) a^x
其中，M(a)=lim[∆x→0]((a^∆x-1)/∆x)是个仅与a有关的“神秘”数字（与x无关的常数）。真的很“神秘”吗？仔细看上式可见
M(a) = lim[∆x→0]((a^∆x-a^0)/∆x)
其实就是指数函数a^x在x=0点上的切线斜率。换句话说就是：
指数函数的导数就是其自身乘上其零点（x=0）上的斜率。
若令M(a)=1，便得到了一个微分（导数）不变的函数（(d/dx)f(x)=f(x)），而相应的特定a用e表示（这是个无理数）。
下面给两个应用：
1）欧拉公式
先给一个幂级数
f(x) = 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n! + ...
= ∑[n=0,∞]x^n/n!
显然，此级数收敛。而且有(d/x)f(x)=f(x)，即微分不变。其实这就是指数函数e^x的麦克劳林展开
e^x = ∑[n=0,∞]x^n/n!
这里利用了(d/dx)e^x = e^x，即函数e^x的任意次导数都是自身，且x=0点上的值为1。
定义
e^(ix) = ∑[n=0,∞](ix)^n/n!
再给两个函数，cos(x)和sin(x)，注意它们的导数是
(d/dx)cos(x) = -sin(x)
(d/dx)sin(x) = cos(x)
由此得到其麦克劳林展开分别为
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! + ... + (ix)^(2k)/(2k)! + ...
= ∑[k=0,∞](ix)^(2k)/(2k)!
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! + ... - i(ix)^(2k+1)/(2k+1) + ...
= -i∑[k=0,∞](ix)^(2k+1)/(2k+1)
显然，级数都收敛。
比较e^(ix)、cos(x)和sin(x)的展开式，可见有关系
e^(ix) = cos(x) + i sin(x)
这就是赫赫有名的欧拉公式
2）差分方程y[n+1]=y[n](1+k∆x)（极限lim[n→∞](1+1/n)^n是个类似的问题）
设∆y = y[n+1] - y[n]，则有
y[n] + ∆y = y[n](1 + k ∆x)
忽略下标有关系
y + ∆y = y(1 + k ∆x)
即
∆y = k y ∆x
相应的微分方程式为
dy/dx = k y
解得
y = C e^(kx)
其中C为常数。
考虑k=1和∆x=1/n，显然
y[n] = y[n-1](1+1/n) = ... = y[0](1+1/n)^n
这就是上面的差分方程
y[m] = y[m-1](1+1/n) （m≤n）
当n→∞，即∆x（=1/n）→0，变化为相应的微分方程
dy/dx = y
得
y = C e^x
若令y[0]=1，可确定C=1，则有
y = e^x
最终得
lim[n→∞]y[n] = lim[n→∞]y(n∆x) = y(1) = e
即
lim[n→∞](1+1/n)^n = e
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