滤波器的逼近理论

登录 · 发表于 2019-6-24 15:44

本帖最后由 xukun977 于 2019-6-24 15:50 编辑

滤波器理论两端分化。
一方面西屋电气公司给出了充足的图表数据，对于给定滤波器结构，设计者直接套用即可。
另一方面，网络设计三大问题：特性、逼近和实现，具体到滤波器理论的基础--逼近理论，还是很难学习的，牵扯到过多的数学知识。

什么时候需要逼近呢？
一般来说，不可能的时候就需要逼近了。

例如下图，假设我期望的某个阻抗函数要是这样的分线段：

对不起，拐角地方函数导数不连续，没办法用有理函数实现，这时我可能要逼近了，如绿线所示。

完整扯一遍可能得好几天，我们现在只扯到4点多钟。

再例如如果希望电阻在某个频率段为定值，其它频率段为零：

例如希望导纳函数为定值，实际没法实现时，我可以在某个频率段近似满足要求。

登录 · 发表于 2019-6-24 16:04

本帖最后由 xukun977 于 2019-6-24 16:09 编辑

如何判断逼近的好不好呢？这就需要有个标准。

定义误差err=逼近函数-原函数

err越小，逼近程度越好，反之，越大越差。

误差函数（和频率w之间的关系）可能有这几种：

1）振荡型
在逼近频段内，在正负之间来回振荡，

2）在中心频带误差特别小，甚至为零，但是在边带明显变大

3）等纹波振荡

表面上看，一个误差函数就够了，就能判断出逼近程度了。
但是单独一个数字，是看不出误差函数如何随频率变化的。这个时候必须用平均值或积分值，如果简单地对误差函数求平均，很有可能平均结果是0，但是某个/些频率点误差特别大。

此时均方根这个概念是有用的。

登录 · 发表于 2019-6-24 16:34

本帖最后由 xukun977 于 2019-6-25 13:59 编辑

常用的逼近方法有：
1）反复实验法
此法产生的误差曲线，一般是上面的第一种振荡型。

2）最小均方误差
傅里叶近似就是这个东西。振荡类型一般也是第一种，

3）泰勒逼近法
误差类型是第2种。

切比雪夫逼近

这种类型的近似，是让误差分布在逼近频带内均匀。误差最大值有个极限。
数学家切比雪夫当时碰到的工程问题是：

确定逼近函数的参数，让误差的最大值是最小化。

切比雪夫他老人家就想啊：为了让逼近带内的最大误差减小到可能的最小值，第一步要确定可调的参数！

例如下图，误差函数有个【大包】，我要调整参数让这个大包小一点。

调整参数，很有可能其它的小包要变大。

如此反复调整，我总是可能让所有的包都一样大的。

这个在我们看来很直观，数学家却觉的不严格，人家非得来个数学证明才放心。
数学证明我们不感兴趣，直接下结论就行了。

证明太复杂，也没有意义对工程师来说，所以直接给结论：

【让误差最大值最小化，会导致误差曲线的峰值的大小都是相等的】

登录 · 发表于 2019-6-25 14:05

本帖最后由 xukun977 于 2019-6-25 14:29 编辑

本次扯到大约3点收工！

接上，我们希望误差曲线的纹波数或振荡数目，在逼近带以内，尽可能地多，这样逼近的效率高。
所以下面所说的切比雪夫逼近和等纹波逼近，是一个意思。也就说，让误差的最大值最小化，等价于等纹波逼近。

切比雪夫这个思想的第一个应用，是用多项式逼近一个常数！这在网络综合理论中非常有用。

然后切比雪夫继续扩展其理论应用范围，用一般有理函数来逼近一个常数。这个理论就非常复杂了。

假设我要逼近下图所示电阻函数：

在归一化频率1之内，阻抗为1，之外为零。

在频带（0，1）之内，根本无需近似，R=1，用一个有理数表示另一个有理数而已，所以是精确解。

困难的是w>1时的高频行为。N阶阻抗函数的一般表达式为：

一般滤波器书籍是直接给出结果的，说下面表达式是逼近高频行为（约等于0）的！！！

请问这个是怎么证明出来的？

请注意，这个函数超级重要，因为几种特殊形式的的传递函数，一般表达式和这个非常接近了。

发表于 2019-6-25 14:50

xukun977 发表于 2019-6-25 14:05
本次扯到大约3点收工！

接上，我们希望误差曲线的纹波数或振荡数目，在逼近带以内，尽可能地多，这样逼近 ...

还是扯扯Space Vector吧。为何躺在平面会叫成Space？？？

发表于 2019-6-26 09:18

xukun977 发表于 2019-6-25 14:05
本次扯到大约3点收工！

接上，我们希望误差曲线的纹波数或振荡数目，在逼近带以内，尽可能地多，这样逼近 ...

请问那个公式是怎么得出来的呢？

登录 · 发表于 2019-6-26 09:35

本帖最后由 xukun977 于 2019-6-26 09:40 编辑

xukun977 发表于 2019-6-25 14:05
本次扯到大约3点收工！

接上，我们希望误差曲线的纹波数或振荡数目，在逼近带以内，尽可能地多，这样逼近 ...

对于N阶阻抗函数，低频时可以精确等于1，即R（0）=1，同时尽可能多阶的导数=0！所以低频时没问题。约束①

高频时，要想逼近0阻抗，那么函数R（w）至少要有两个零点在无穷远处。即M<N，∞处，零点个数为2（N-M）!这样高频就逼近于0了！约束②

下面求解两个约束导致的结果。
对约束①，不失一般性，可以令任意一个常数，例如b0=1

叉乘并令对应系数相等，可得：

登录 · 发表于 2019-6-26 09:47

上面结果的意思是：函数R（w)的分子，与分母的前（M+1）项相等！！！
而分母中另一个非零项为：

于是R（w）变为：

后面的情况就不言自明了。

登录 · 发表于 2019-6-26 09:55

滤波器理论实际上很有意思的，如果去看些所谓的实用滤波器设计之类的，电路结构，元件参数都给你了，那还有啥意思？没付出也学不到多少东西。

滤波器手册，放在手头当工具书查用是可以的，当年西屋电气公司把模拟滤波器的所有图表，研究个底超天，现代书籍或多或少都是引用人家的图表：

但是把手册当成教材来学，可能有点不合适了。

滤波器的逼近理论

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