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数字信号学习笔记---离散时间傅里叶变换
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离散时间傅里叶变换
如果能把任意信号分解为复指数或正弦信号之和（极限是积分形式），则通过LTI系统的特征值函数H(ejω)，得到系统对一般信号的响应。如果能把任意信号分解为复指数或正弦信号之和，则得到对复杂信号的有明显物理意义的解释，是信号诸多分解技术中，最有基本意义的一种。傅里叶分析就是一种这样的工具，这也是为什么傅里叶分析重要的原因之一。傅里叶分析的作为信号分析的工具，具有一般性，但作为系统分析的工具，只对LTI系统是特别有效的，但是这种方法无法直接同样有效地用于非线性系统和时变系统。
一个离散信号x[n]的离散时间傅里叶变换（DTFT）定义为：
对连续信号的理想采样表示为：
通过采样获取了连续信号在nTs时刻的值，这些值通过归一化的序号定义为离散信号：x[n]=xa(nTs)。把采样表达式带入连续信号的傅里叶变换的定义式得到采样信号傅里叶变换的另外一种表达式。
满足采样定理时，采样信号傅里叶变换Xs（jΩ）中，包含其对应连续信号傅里叶变换的一个完整复本（仅有系数不同）和一些被搬移到高频段的周期重复（延拓）副本。若离散信号来自于对连续信号的采样，则DTFT实际是其采样信号傅里叶变换的一个在角频率轴上被“压缩”了的一个版本，因此DTFT里面包含了原连续信号傅里叶变换的一个完整的压缩复本，通过自变量的简单变换，可从DTFT中取出原连续信号的完整傅里叶变换，即连续信号的频谱。
下面导出反变换公式，及如何由X(ejω)重构信号想x（n），容易验证如下等式：
原变换两侧同乘ejωm，并从-π到π对ω积分得：
DTFT的正反变换如下：
DTFT为离散信号的频谱密度，简称频谱。时域离散信号的自变量只取离散值，但是DTFT的自变量ω是连续的。DTFT可看作是采样信号傅里叶变换的“压缩”版，是ω的周期函数。周期是2π。若序列绝对可和，则DTFT处处收敛，若序列平方可和，则DTFT均方收敛。
