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[电路/定理]

正本清源——拉普拉斯变换的ROC及其解析延拓

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楼主
HWM|  楼主 | 2016-2-29 17:43 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
沙发
HWM|  楼主 | 2016-2-29 17:52 | 只看该作者
关于拉普拉斯变换的收敛域(ROC),凡是涉及到拉普拉斯变换的书籍都会讲述。在此,不妨再重申一遍:

拉普拉斯变换的收敛域(ROC)就是使拉普拉斯积分变换(含复变量s的广义积分)收敛的s所在的区域。

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板凳
HWM|  楼主 | 2016-2-29 17:58 | 只看该作者
原本关于ROC的概念至此已经是非常明了。关于此,《电路》和《信号与系统》基本上到此为止,不会再深究。

既然有人(还拿出书的内容)来扯这个东西,那么在此就进一步说明一下。

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地板
HWM|  楼主 | 2016-2-29 18:04 | 只看该作者
解析延拓”,是《复变函数》中的概念,由于在此不可能详细讲述《复变函数》(感兴趣者可以自己找书看看),故在这里仅贴出了其中的一页内容,包含了解析延拓的定义


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5
HWM|  楼主 | 2016-2-29 18:10 | 只看该作者
请注意定义中的两个不同的函数f(z)和F(z),其中F(z)是f(z)的解析延拓。对于f(z)而言,虽然有个延拓函数F(z)与之对应,但是f(z)的定义域还是D,扩展定义域的是F(z)。

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6
HWM|  楼主 | 2016-2-29 18:15 | 只看该作者
回到拉普拉斯变换:

对于拉普拉斯变换,由于其本身就是个复变函数,自然可以有解析延拓。但是,延拓后的函数(如上面的F(z))就不再是原来的那个拉普拉斯变换式子(f(z))了。这是个最基本的数学概念!

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7
HWM|  楼主 | 2016-2-29 18:21 | 只看该作者
关于复变函数的“解析延拓”,深层次的论述不可能在此展开,说实在也没有什么必要。不过,通过此帖至少应该明白函数的“解析延拓”的基本概念(譬如定义)是什么。

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8
HWM|  楼主 | 2016-2-29 18:30 | 只看该作者
9
HWM|  楼主 | 2016-3-1 17:14 | 只看该作者
针对性地补几个式子:

一)关于解析延拓(定义)的一个“经典”实例



二)关于拉普拉斯变换线性特性的ROC关系



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10
jinwenfeng| | 2016-3-1 21:42 | 只看该作者
@HWM,对解析延拓有一点疑问,不知大师能否帮忙解答一下:为什么要做解析延拓?物理或者电子学上的什么情况下,才需要用到解析延拓?

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11
HWM|  楼主 | 2016-3-2 08:35 | 只看该作者
jinwenfeng 发表于 2016-3-1 21:42
@HWM,对解析延拓有一点疑问,不知大师能否帮忙解答一下:为什么要做解析延拓?物理或者电子学上的什么情况 ...

"为什么要做解析延拓?"

最显见的(譬如这里所涉话题)就是可以“忽略”原来未延拓的定义域(或ROC)以迎合人的惰性。当然,更深层次的应用在我给出《复变函数》的那页内容中就有简单表述,具体建议看书。

"物理或者电子学上的什么情况下,才需要用到解析延拓?"

解析延拓是个纯数学概念,那不是技术的范畴。不过,间接地会与科学或技术相应的学科有所关联,譬如这里所讨论的拉普拉斯变换,虽然这个变换本身也属于数学(积分变换)。

其实,解析延拓的基本概念,只要是学过高中数学的,就都可能有所涉猎。譬如最简单的幂级数:


写成解析式子是:


注意其中的定义域(或收敛域)。

如果不想考虑那个定义域,而仅考虑上述初等解析函数的自然定义域,那么就有如下“延拓”:


注意上下两个函数是不相同的,所以在此用f(z)和F(z)加以区分。其中F(z)就是f(z)的解析延拓。

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12
HWM|  楼主 | 2016-3-2 09:14 | 只看该作者
最后特别强调一点:

解析延拓并未改变级数的收敛域(其还是收敛半径为1的圆)!


不能说扯了个解析延拓就把那个级数(或广义积分)的收敛域ROC给搞大了。

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13
AD797| | 2016-3-2 10:51 | 只看该作者
本帖最后由 AD797 于 2016-3-2 10:59 编辑
jinwenfeng 发表于 2016-3-1 21:42
@HWM,对解析延拓有一点疑问,不知大师能否帮忙解答一下:为什么要做解析延拓?物理或者电子学上的什么情况 ...

其实完全不需要了解“解析延拓”这个词,解析延拓是在函数逼近(泰勒级数、傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换)中出现的一个名词,简单说来逼近原函数的新函数的收敛区域比原函数扩大了,在数学上有理论需要,但对于工程师应用可以完全忽略。

对于“延拓”这个词可以了解一下,因为在傅里叶级数展开是对周期函数而言的,如果是时间的有限信号,可以在时间轴上延拓,变成周期信号,再进行傅里叶展开。如果这个延拓的周期T趋于无穷大,那么傅里叶级数展开项一般不是离散项(不是离散频率),这个展开项的系数为频率的函数,这个展开项系数就是傅里叶变换。

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14
xukun977| | 2016-3-2 15:05 | 只看该作者
AD797 发表于 2016-3-2 10:51
其实完全不需要了解“解析延拓”这个词,解析延拓是在函数逼近(泰勒级数、傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏 ...



你偶像这些帖子,漏洞百出,惨不忍睹!例如这句:

△ 由于其本身就是个复变函数,自然可以有解析延 拓。△

这句话明显是错的!哪个师傅告你说只要是复变函数,"自然"可以有解析延拓的?

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qq137098502| | 2016-3-2 17:01 | 只看该作者
希望看到在实际工程中的具体操作。

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xukun977| | 2016-3-3 14:32 | 只看该作者
qq137098502 发表于 2016-3-2 17:01
希望看到在实际工程中的具体操作。

楼主神功盖世,会有的!

只不过基本概念还没弄清,需闭关修炼几天。比如经历过高考的都知道,做题一定要咬紧概念,楼主顶楼以及后面回复jinwenfeng,都是根据下面图1所给的定义!即A是开拓后的真子集。

而实际上,根本无需如此,比如图2,也是叫开拓!

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