正本清源——拉普拉斯变换的ROC及其解析延拓

2万 · 2016-2-29 17:43

先上一页《复变函数》的内容，其中明确定义了什么是解析延拓：

2万 · 2016-2-29 17:52

关于拉普拉斯变换的收敛域（ROC），凡是涉及到拉普拉斯变换的书籍都会讲述。在此，不妨再重申一遍：

拉普拉斯变换的收敛域（ROC）就是使拉普拉斯积分变换（含复变量s的广义积分）收敛的s所在的区域。

2万 · 2016-2-29 17:58

原本关于ROC的概念至此已经是非常明了。关于此，《电路》和《信号与系统》基本上到此为止，不会再深究。

既然有人（还拿出书的内容）来扯这个东西，那么在此就进一步说明一下。

2万 · 2016-2-29 18:04

“解析延拓”，是《复变函数》中的概念，由于在此不可能详细讲述《复变函数》（感兴趣者可以自己找书看看），故在这里仅贴出了其中的一页内容，包含了解析延拓的定义。

2万 · 2016-2-29 18:10

请注意定义中的两个不同的函数f(z)和F(z)，其中F(z)是f(z)的解析延拓。对于f(z)而言，虽然有个延拓函数F(z)与之对应，但是f(z)的定义域还是D，扩展定义域的是F(z)。

2万 · 2016-2-29 18:15

回到拉普拉斯变换：

对于拉普拉斯变换，由于其本身就是个复变函数，自然可以有解析延拓。但是，延拓后的函数（如上面的F(z)）就不再是原来的那个拉普拉斯变换式子（f(z)）了。这是个最基本的数学概念！

2万 · 2016-2-29 18:21

关于复变函数的“解析延拓”，深层次的论述不可能在此展开，说实在也没有什么必要。不过，通过此帖至少应该明白函数的“解析延拓”的基本概念（譬如定义）是什么。

2万 · 2016-2-29 18:30

引两个相关帖子：

https://bbs.21ic.com/icview-1019182-1-1.html

https://bbs.21ic.com/icview-1020052-1-1.html

2万 · 2016-3-1 17:14

针对性地补几个式子：

一）关于解析延拓（定义）的一个“经典”实例

二）关于拉普拉斯变换线性特性的ROC关系

只看该作者 · 2016-3-1 21:42

@HWM，对解析延拓有一点疑问，不知大师能否帮忙解答一下：为什么要做解析延拓？物理或者电子学上的什么情况下，才需要用到解析延拓？

2万 · 2016-3-2 08:35

jinwenfeng 发表于 2016-3-1 21:42
@HWM，对解析延拓有一点疑问，不知大师能否帮忙解答一下：为什么要做解析延拓？物理或者电子学上的什么情况 ...

"为什么要做解析延拓？"

最显见的（譬如这里所涉话题）就是可以“忽略”原来未延拓的定义域（或ROC）以迎合人的惰性。当然，更深层次的应用在我给出《复变函数》的那页内容中就有简单表述，具体建议看书。

"物理或者电子学上的什么情况下，才需要用到解析延拓？"

解析延拓是个纯数学概念，那不是技术的范畴。不过，间接地会与科学或技术相应的学科有所关联，譬如这里所讨论的拉普拉斯变换，虽然这个变换本身也属于数学（积分变换）。

其实，解析延拓的基本概念，只要是学过高中数学的，就都可能有所涉猎。譬如最简单的幂级数：

写成解析式子是：

注意其中的定义域（或收敛域）。

如果不想考虑那个定义域，而仅考虑上述初等解析函数的自然定义域，那么就有如下“延拓”：

注意上下两个函数是不相同的，所以在此用f(z)和F(z)加以区分。其中F(z)就是f(z)的解析延拓。

2万 · 2016-3-2 09:14

最后特别强调一点：

解析延拓并未改变级数的收敛域（其还是收敛半径为1的圆）！

不能说扯了个解析延拓就把那个级数（或广义积分）的收敛域ROC给搞大了。

只看该作者 · 2016-3-2 10:51

本帖最后由 AD797 于 2016-3-2 10:59 编辑

jinwenfeng 发表于 2016-3-1 21:42
@HWM，对解析延拓有一点疑问，不知大师能否帮忙解答一下：为什么要做解析延拓？物理或者电子学上的什么情况 ...

其实完全不需要了解“解析延拓”这个词，解析延拓是在函数逼近（泰勒级数、傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换）中出现的一个名词，简单说来逼近原函数的新函数的收敛区域比原函数扩大了，在数学上有理论需要，但对于工程师应用可以完全忽略。

对于“延拓”这个词可以了解一下，因为在傅里叶级数展开是对周期函数而言的，如果是时间的有限信号，可以在时间轴上延拓，变成周期信号，再进行傅里叶展开。如果这个延拓的周期T趋于无穷大，那么傅里叶级数展开项一般不是离散项（不是离散频率），这个展开项的系数为频率的函数，这个展开项系数就是傅里叶变换。