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信号截断、能量泄漏及窗函数(转)

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6.4.1 信号截断及能量泄漏效应
  数字信号处理的主要数学工具是傅里叶变换。应注意到,傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。然而,当运用计算机实现工程测试信号处理时,不可能对无限长的信号进行测量和运算,而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段,然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理,得到虚拟的无限长的信号,然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。



图6.4-1
  周期延拓后的信号与真实信号是不同的,下面从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。设有余弦信号x(t)在时域分布为无限长(- ∞,∞),当用矩形窗函数w(t)与其相乘时,得到截断信号xT(t)=x(t)w(t)。根据博里叶变换关系,余弦信号的频谱X(ω)是位于ω。处的δ函数,而矩形窗函数w(t)的谱为sinc(ω)函数,按照频域卷积定理,则截断信号xT(t)的谱XT(ω) 应为
  将截断信号的谱XT(ω)与原始信号的谱X(ω)相比较可知,它已不是原来的两条谱线,而是两段振荡的连续谱。这表明原来的信号被截断以后,其频谱发生了畸变,原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了,这种现象称之为频谱能量泄漏(Leakage)
  信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的,因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数,所以即使原信号x(t)是限带宽信号,而在截断以后也必然成为无限带宽的函数,即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知,无论采样频率多高,只要信号一经截断,就不可避免地引起混叠,因此信号截断必然导致一些误差,这是信号分析中不容忽视的问题。
  如果增大截断长度T,即矩形窗口加宽,则窗谱W(ω)将被压缩变窄(π/T减小)。虽然理论上讲,其频谱范围仍为无限宽,但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快,因而泄漏误差将减小。当窗口宽度T趋于无穷大时,则谱窗W(ω)将变为δ(ω)函数,而δ(ω)X(ω)的卷积仍为H(ω),这说明,如果窗口无限宽,即不截断,就不存在泄漏误差。




图6.4-2
为了减少频谱能量泄漏,可采用不同的截取函数对信号进行截断,截断函数称为窗函数,简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关,如果两侧p旁瓣的高度趋于零,而使能量相对集中在主瓣,就可以较为接近于真实的频谱,为此,在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。
 
6.4.2常用窗函数
。。实际应用的窗函数,可分为以下主要类型:
幂窗:采用时间变量某种幂次的函数,如矩形、三角形、梯形或其它时间函数x(t)的高次幂;
三角函数窗:应用三角函数,即正弦或余弦函数等组合成复合函数,例如汉宁窗、海明窗等;
指数窗。。:采用指数时间函数,如e-st形式,例如高斯窗等。
。。下面介绍几种常用窗函数的性质和特点。
(l) 矩形窗
  矩形窗属于时间变量的零次幂窗,函数形式为


相应的窗谱为

  矩形窗使用最多,习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中,缺点是旁瓣较高,并有负旁瓣(下图所示),导致变换中带进了高频干扰和泄漏,甚至出现负谱现象。


图6.4-3
(2) 三角窗
。。三角窗亦称费杰(Fejer)窗,是幂窗的一次方形式,其定义为

相应的窗谱为

。。三角窗与矩形窗比较,主瓣宽约等于矩形窗的两倍,但旁瓣小,而且无负旁瓣,如下图所示。

图6.4-4


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沙发
nethopper| | 2016-6-2 12:55 | 只看该作者
1. 如果DFT采集时间窗口内的信号的周期延拓与实际信号完全吻合,那么就不会出现泄漏现象。换句话说,对于周期信号,如果采集时间窗口内正好包含整数个信号周期,就能避免频谱泄漏。有时可利用这个特点来进行所谓的整周期采样。




下面是一个1000.4882812Hz的正弦信号,采样频率为48kHz,FFT点数为32768(无窗,或矩形窗),因此一个FFT段包含32768/48000*1000.4882812=683个整信号周期,信号能量集中于单一谱线上,无泄漏。




2. 如果DFT采集时间窗口内的信号的周期延拓与实际信号不完全吻合,就会在周期延拓的边界上出现不连续点,就会出现泄漏现象。



下面是一个1000Hz的正弦信号,采样频率为48kHz,FFT点数为32768(无窗,或矩形窗),因此一个FFT段包含32768/48000*1000=682.6666667个信号周期,信号能量分散于多条谱线上,而且散布到离信号本身频率以外相当远的地方,出现了严重的频谱泄漏。



3. 减少频谱泄漏的方法就是将采集时间窗口内的数据乘以一个窗函数,再做DFT。与矩形窗给所有采集窗口内的数据同样的权重(即:1)不同,通常采用的窗函数都是给予采集窗口内中间的数据最大的权重(即:1),然后从中间到两边权重逐渐减小,最后在边界上变为0,这就强制了在DFT周期延拓的边界上,不会出现不连续的跳变。

                        

加窗后,在周期延拓的边界上,被强制连续。




下面是一个1000Hz的正弦信号,采样频率为48kHz,FFT点数为32768(汉宁窗),因此一个FFT段包含32768/48000*1000=682.6666667个信号周期,加窗后信号能量集中于信号频率附近的几条谱线上,频谱泄漏的情况比不加窗时小。






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jinwenfeng|  楼主 | 2016-6-2 15:42 | 只看该作者
nethopper 发表于 2016-6-2 12:55
1. 如果DFT采集时间窗口内的信号的周期延拓与实际信号完全吻合,那么就不会出现泄漏现象。换句话说,对于周 ...

赞一个!你这个软件界面挺友好,是收费的不

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nethopper| | 2016-6-3 14:40 | 只看该作者
在时域乘以窗函数,相当于在频域对跟该窗函数的频谱做卷积。不同的窗函数有不同的频谱,那么在频谱泄漏不可避免的时候,如何选择合适的窗函数呢?这个得首先估计被测信号的频率成分。

1. 如果信号中的干扰信号的频率离所关注的信号的频率较远,则应选择旁瓣衰减率高的窗函数;
2. 如果信号中的干扰信号的频率离所关注的信号的频率较近,则应选择最高旁瓣幅度低的窗函数;
3. 如果信号中的干扰信号的频率离所关注的信号的频率非常接近,则应选择主瓣窄的窗函数;
4. 如果要准确测量信号的某一单频分量的幅度,则应选择主瓣宽的窗函数;
5. 如果信号是宽频噪音信号,则宜采用矩形窗。

总的来看,汉宁窗具有较好的频率分辨率,也大大减少了频谱泄漏,适用于大多数情形。

窗函数在频域的特性可参考下图。包括最高旁瓣幅度、旁瓣衰减率、-3dB主瓣宽度、-6dB主瓣宽度、Scallop Loss、Coherent Gain、Equivalent Noise Bandwidth等。





我们评估了MI所支持的55种窗函数,在这55种窗函数中选择了单项冠军。



1. 旁瓣衰减率高的窗函数 Cosine Window (Alfa = 5)




2. 最高旁瓣幅度低的窗函数 Kaiser-Bessel Window  (Alfa = 19.0)




3. 主瓣窄的窗函数 Rectangle Window




4. 主瓣宽的窗函数 Kaiser-Bessel Window  (Alfa = 20.0)




另一个常用的主瓣宽的窗函数是 Flat Top Window



5. 最常用的窗之一 Hanning Window





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nethopper| | 2016-6-3 14:47 | 只看该作者
jinwenfeng 发表于 2016-6-2 15:42
赞一个!你这个软件界面挺友好,是收费的不

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jinwenfeng|  楼主 | 2016-6-3 16:02 | 只看该作者
nethopper 发表于 2016-6-3 14:47
无需注册登记即可免费下载,21天全功能试用,试用可采用电脑都有的声卡的ADC和DAC。试用完,还可以通过“ ...

挺不错的软件

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