关于0^0：
设有函数 Z = f(x,y) = x^y。显然这是个R^2 映射到 R 上的二元函数。现在考察此函数在 R^2 中点 (0,0) 上的“极限”问题。二元函数的极限分二重极限和二次极限之分（这是两个不同的概念）。通常若仅提“极限”二字，则意指二重极限——即按任意方式接近 (0,0) 点时所得到的Z的极限（如果存在的话）。与二重极限不同，二次极限则是分别先后对 x 和 y 求极限（二次极限次序不同结果可能不一样）。有一点可以肯定，若二重极限存在，则二重极限和二次极限必然相同（此时二次极限的次序将不再重要）。反过来看，此也可以用来判别二重极限不存在的依据（注意，不能依此判定二重极限的存在）。
回过来看 Z = f(x,y) = x^y 在点 (0,0) 上的二次极限：
lim[x→0;y→0] x^y = 0 （先求x→0，再求y→0）
lim[y→0;x→0] x^y = 1 （先求y→0，再求x→0）
由于 f(x,y) = x^y 在 (0,0) 点上的二次极限不同，所以可以判断其二重极限不存在。这其实是非常正常的，因为 0^0 本来就是个不定式。不定式在一定范围内的具体取值取决于极限“路径”的选择。下面就来讨论 0^0 的“可能取值”：
设 y = A / log(x)，其中 A 为任意常数。显然当 x→0 有 y→0，这是一条接近(0,0)点的路径。代入 Z = f(x,y) = x^y，两边求对数（log），得：
log(Z) = (A / log(x)) log(x) = A
显然，沿此极限路径逼近点 (0,0) 所得极限值为：
Z[(x,y)→(0,0)] = 10^A
由于 A 为任意常数，则 10^A 为任何正常数。加上 0 则其全体为非负常数，即不定式 0^0 的可能取值为任意非负数。 |
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