“干”货——通识....

映射

映射其实是个很直观的概念，如：阳光下人在地面上的投影、摄影、三角形的外接圆、y = x²、y' = (d/dx)y 等等。

数学上看，映射由三部分组成：原像空间（集合）X、像空间（集合）Y、规则f。表示为：

    f:X→Y

其意义是X中的任一元素x（或称原像）在Y中有唯一的一个元素y（或称像）按规则f与之对应。这里有两个重点，1）“X中的任一元素x”，这意味着X中任一元素都适合规则f，即X就是规则f的定义域（记为Df，显然 Df = X）；2）“Y中有唯一的一个元素按规则f与之对应”，这意味着与原像x对应的像是唯一的，即所谓的单值性。

虽然规则f的定义域就是原像空间X，但其通过规则f映射到像空间Y中的所有元素组成的集合（称值域，记为Rf）未必就是像空间Y本身，一般为Y的子集（即Rf⊆Y）。此外，不同的原像x还可以通过规则f映射到同一个像y上，即按规则f对应于像y的原像不要求唯一。

如果对应于像y的原像x唯一（即若原像x1和x2的像是同一个y，则x1 = x2），此映射则被称为单射。如果映射的值域Rf等于像空间Y（即Rf = Y），则此映射被称为满射。若两个都成立（即既是单射又是满射），则此映射称为双射（或一一对应）。

对于单射，由于值域Rf（Rf⊆Y）中的每个像y在原像空间X中都存在唯一的原像x与之对应，显然可构造一个映射，记为：

    f⁻¹:Rf→X

此映射被称为映射f:X→Y的逆映射。显然，此逆映射的定义域是Rf，值域是X（即满射）。此外，由原映射的像唯一性可知其逆映射必然是个单射，故f⁻¹:Rf→X是个双射。

单射是逆映射存在的充要条件。

二）待定型（或不定式）

在求函数商的极限时要求分母函数在极限点上的值不为零。如果在极限点上分母函数和分子函数的值都是零，则其极限点上的函数商无定义。虽然无定义，但此点上函数商的左右极限未必不存在。如果此极限点是个第一类间断点，或特别的是可去间断点的话，就可以通过其左右极限定义此点的函数值，故称为“待定”。

待定型的基本形式是0/0，即分母和分子都是无穷小量。除基本形式外，待定型还有几种变形，如∞/∞、0*∞、∞-∞、0^0、∞^0、1^∞等。这些待定型的变形都可以通过适当的变换变成基本形式。如：

    e^(∞-∞) = ∞/∞ = 0/0
     ln(0^0) = 0*∞ = 0/0
     ln(∞^0) = 0*∞ = 0/0
     ln(1^∞) = ∞*0 = 0/0

待定型的求解一般不那么直接，需要一定的技巧。但是，对于某些类型可以采用以后将介绍的洛必达法则求解。

有了极限论的基础，现在可以进入《高等数学》的核心内容——一元微积分。在极限论中已经知道，初等函数在其自然定义域内是各点连续的，相关函数在定义域内的极限仅是计算其函数在极限点上的值即可，这是一件简单到几乎无意义的事情。自然，《高等数学》不可能如此的简单，总得找一些不那么平凡的事情才可能有非凡的拓展。对于某一个函数F(x)，下面引入一个相关函数来观察其函数极限

    g(x) = (F(x0 + x) - F(x0))/ x

上式中的x0暂视为一个常数。

显然，函数g(x)在其x=0的点上无定义（即此点不属于g(x)的自然定义域）。此外还可看出，若要使g(x)在x=0点上为第一类间断点（以后可以看到这是个要求满足的基本条件），就必须要求lim[x→0]F(x0+x) = F(x0)，即F(x)在x=x0点连续。现在就讨论函数g(x)在x=0点上的极限。由于g(x)在x=0点上非连续，故不可能通过此点上的函数值（g(0)无定义）得其极限。如下分几种情况讨论：

1）F(x)在x0点上不连续。显然，lim[x→0] g(x)发散。

2）F(x)在x0点上连续（即g(x)在x=0点上是个待定型），g(x)在x=0点上的左右极限发散。

3）F(x)在x0点上连续（即g(x)在x=0点上是个待定型），g(x)在x=0点上的左右极限存在但不相等。

4）F(x)在x0点上连续（即g(x)在x=0点上是个待定型），g(x)在x=0点上的左右极限存在且相等。

上述情况1和2中，g(x)在x=0点上都无极限存在。而在情况3和4中，可以通过g(x)在x=0点上所存在的左右极限来定义函数F(x)的某些特性，即以后要看到的微分（导数）。

微分其实就是极限论中的待定型，而由于待定型自身就是个随各种问题变化无穷的东西，所以说微分是个适应性很强的分析工具。

如果lim[x→0] g(x)存在，则得到一个与x0有关的数，令其为f(x0)（或F'(x0)）。再将前面暂视为常数的x0视为自变量，用x代替，则得到一个与F(x)关联的新函数f(x)（以后会知道这就是F(x)的导函数）。此地其实建立了一个映射

    d/dx:X→Y

其中，X和Y为一元实函数集合，d/dx是个算符（或称算子）。显然，这不是个单射，即F(x)和F(x)+C具有同一个像，其中C为常数。非单射按理无逆映射，但若忽略所相差的常数C则可建立上述映射的“逆映射”

    ∫:X→Y

这就是以后将介绍的不定积分——F(x) = ∫f(x)dx，这里的“不定”意指存在待定常数C。

电子的运动

我们已经知道，电子有一个内禀属性——电荷，其大小是一个电子电荷量且为负值。在电子周围，由电子电荷激发出电场，此场会对其中的带电粒子有一个作用力——电力（或库仑力）。

那么，如果两个电子平行运动（譬如两根导线内的自由电子沿导线方向上的定向运动），其除了电力外我们知道还存在有所谓的磁力。这种与电荷运动有关的力——磁力，到底是个什么东西？对于两个平行运动的电子，如果建立一个与其随动的参照系，那么相对于这个参照系静止的人（其相对于那两个平行运动的电子也是静止的）来说那个磁力就不存在了。这种相对不同参照系而不同的力显然不仅仅是由电子的内禀属性电荷所唯一确定的，与其运动有关。

与运动有关的效应，按近代物理观点，显然是与爱因斯坦的相对论有点瓜葛。那么，再看看导线内的电子平均定向运动速度的数量级，大概是每秒0.01厘米。如此慢的速度，怎么可能让我们观察到这么明显的相对论效应——磁力？相对论效应的比例量级大概是v^2/c^2，其中v是运动速度，而c是真空光速。

按相对论观点，磁力是对由电荷激发的静电力的相对论修正项（相对论效应），其应该是电力的大约v^2/c^2比例量级。相对于磁力，电力应该是其大约c^2/v^2倍。那么大的电力，我们为何没有觉察到呢？其实很简单，那是因为导体内除电子外还有核内带正电荷的质子。正负电荷宏观中和，就看不出宏观的电力了。各位可以试着将导体内带正电荷的质子“去除”（无需全部，只要去除掉与自由电子相对应的那部分）,然后计算一下由自由电子所产生的电力大小。

相对论，这个看似很神秘的东西，其实只要是搞电子的，每天都与其打交道。也正是由于磁力原本就是电力的相对论效应（本质上电磁是相互的相对论效应），所以电磁理论（《电磁学》或《电动力学》）天生就是相对论性的。而爱因斯坦也正是由于电磁理论的启发，才导致其发现了相对论。

HWM 发表于 2018-2-1 10:35
先看看《高等数学》中的几段内容：

maychang 发表于 2018-2-1 10:54

HWM 发表于 2018-2-1 10:35
先看看《高等数学》中的几段内容：

maychang 发表于 2018-2-1 12:04
“变换是啥意思？”
这就是。