关于线性方程组解的存在及其唯一性条件

2万 · 2018-2-28 22:26

作为线性空间概念的应用，这里分析一下线性方程组解的存在及其唯一性条件。

2万 · 2018-2-28 22:30

针对线性方程组

2万 · 2018-2-28 22:33

采用线性空间中的元素表示

2万 · 2018-2-28 22:39

显然，线性方程问题变成了线性空间内线性组合表示的问题，即

B = x1A1 + x2A2 + ... + xmAm

下面分析这个线性组合存在（即线性方程有解）的条件和其唯一性条件：

1）线性方程组解存在的充要条件

显然，B必须属于A1,A2,...,Am所生成的那个线性子空间，意味着元素组A1,...,Am的秩等于元素组A1,...,Am,B的秩。反映到相关矩阵就是线性方程组的系数矩阵的秩必须等于其增广矩阵的秩。这就是线性组合存在（即线性方程有解）的充要条件。

2）线性方程组解存在的充要条件有了，下面就看其唯一性条件

只有在元素组A1,A2,...,Am线性无关的条件下，上述线性组合才可能唯一存在。

2万 · 2018-2-28 22:42

这里，根据n和m的关系，再具体分析

1）如果n<m，方程数小于未知变量数

显然A1,A2,...,Am线性相关，故就算是存在线性组合（线性方程有解），其线性组合（线性方程的解）也非唯一。

2）如果n>m，方程数大于未知变量数

则只有A1,A2,...,Am线性无关（相应的系数矩阵秩等于m）的前提下才会是唯一解。

3）如果n=m，方程数等于未知变量数

系数矩阵为方阵，那么同样只有A1,A2,...,Am线性无关（系数方阵的行列式非零）的前提下才会是唯一解。