几个常用的变换简介

发表于 2018-4-23 20:04

至此，已经阐明了（连续）傅里叶变换的基本概念。在此所涉及的是经典意义（或古典意义）下的傅里叶变换。由于许多常用函数都没有经典意义下的傅里叶变换，所以这里将列出几个广义傅里叶变换对，仅作参考。

发表于 2018-4-23 20:06

广义傅里叶变换对

发表于 2018-4-23 20:07

下面，给出几个常见的傅里叶变换性质和定理。

发表于 2018-4-23 20:09

性质

发表于 2018-4-23 20:10

性质

发表于 2018-4-23 20:11

定理

发表于 2018-4-25 19:40

三）离散傅里叶变换

要实现傅里叶变换的数值计算，必然涉及到连续空间的离散化，相应的算法就是离散傅里叶变换。如同其它离散化处理，必然涉及到采样以及相关理论，在此对相关理论不作详细论述，只给出必需的一些东西。关于采样理论，以后将在相关课程系统性梳理中再作介绍。

下面先给出冲激串的傅里叶变换关系。

发表于 2018-4-25 19:43

冲激串

发表于 2018-4-25 19:57

有了冲激串的傅里叶变换关系，下面就可以阐述离散傅里叶变换的具体内容了。

需注意的是，这里涉及到了一系列的广义函数概念及其运算，严格来说需要更基础的知识。在此，基本上是按形式上直观论述为主，略去了详细严谨论证。不过，这些“直观论述”早已经有理论支撑，所以没有问题。

发表于 2018-4-25 19:59

离散傅里叶变换

发表于 2018-4-25 20:01

续

发表于 2018-4-25 20:04

从上面给出的离散傅里叶变换关系式可以看到，这就是《线性代数》的应用。自然就想到了引入向量和矩阵的概念，具体如下。

发表于 2018-4-25 20:05

矩阵表示

发表于 2018-4-25 20:07

看到了《线性代数》的威力了吧。

发表于 2018-4-25 20:12

这里，给出了离散傅里叶变换的基本关系和算法。按此就可以进行傅里叶变换的数值计算。不过，要进行高效的数值计算还得对算法进行优化，譬如FFT。

关于FFT，将在其它相关课程的梳理中再作具体论述。

发表于 2018-4-28 12:06

四）拉普拉斯变换

前面说了傅里叶变换，知道有许多极为常用的函数（信号）不存在经典（或古典）意义下的傅里叶变换，一定要做傅里叶变换那必将涉及到广义函数（相关变换称为广义傅里叶变换）。由于广义函数的基础理论涉及到一些比较专业的数学基础理论，且不具备通常所见的那些很好的解析分析特性，所以理论和技术上都不提倡使用。那么，有什么方法可以绕过“广义函数”，让变换后的函数还在具备好的解析分析特性的范畴内呢？有，那就是拉普拉斯变换。

下面先看看拉普拉斯变换的定义和其与傅里叶变换的关系。

发表于 2018-4-28 12:11

拉普拉斯变换定义

发表于 2018-4-28 12:24

从上面拉普拉斯变换的定义可知，其实就是将函数乘上一个指数因子再作傅里叶变换。由于存在这么一个指数因子，使得“傅里叶变换”得以收敛，回到经典。

因加入了一个指数因子相关的数a（实数），其与原来的虚数iω结合构成了复数s，所以拉普拉斯变换也是复数平面上的一种变换。

那么加入了那个指数因子后的具体表现如何呢？下面看一个例子。

发表于 2018-4-28 12:27

下面的例子是两个不同函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换。

先看傅里叶变换。

发表于 2018-4-28 12:30

傅里叶变换

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