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几个常用的变换简介

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楼主: HWM
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HWM|  楼主 | 2018-4-23 20:04 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览
至此,已经阐明了(连续)傅里叶变换的基本概念。在此所涉及的是经典意义(或古典意义)下的傅里叶变换。由于许多常用函数都没有经典意义下的傅里叶变换,所以这里将列出几个广义傅里叶变换对,仅作参考。

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HWM|  楼主 | 2018-4-23 20:06 | 只看该作者
广义傅里叶变换对

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HWM|  楼主 | 2018-4-23 20:07 | 只看该作者
下面,给出几个常见的傅里叶变换性质和定理。

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HWM|  楼主 | 2018-4-23 20:09 | 只看该作者
性质

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HWM|  楼主 | 2018-4-23 20:10 | 只看该作者
性质

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HWM|  楼主 | 2018-4-23 20:11 | 只看该作者
定理

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HWM|  楼主 | 2018-4-25 19:40 | 只看该作者
三)离散傅里叶变换


要实现傅里叶变换的数值计算,必然涉及到连续空间的离散化,相应的算法就是离散傅里叶变换。如同其它离散化处理,必然涉及到采样以及相关理论,在此对相关理论不作详细论述,只给出必需的一些东西。关于采样理论,以后将在相关课程系统性梳理中再作介绍。

下面先给出冲激串的傅里叶变换关系。

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HWM|  楼主 | 2018-4-25 19:43 | 只看该作者
冲激串

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HWM|  楼主 | 2018-4-25 19:57 | 只看该作者
有了冲激串的傅里叶变换关系,下面就可以阐述离散傅里叶变换的具体内容了。

需注意的是,这里涉及到了一系列的广义函数概念及其运算,严格来说需要更基础的知识。在此,基本上是按形式上直观论述为主,略去了详细严谨论证。不过,这些“直观论述”早已经有理论支撑,所以没有问题。

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HWM|  楼主 | 2018-4-25 19:59 | 只看该作者
离散傅里叶变换

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HWM|  楼主 | 2018-4-25 20:01 | 只看该作者


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HWM|  楼主 | 2018-4-25 20:04 | 只看该作者
从上面给出的离散傅里叶变换关系式可以看到,这就是《线性代数》的应用。自然就想到了引入向量和矩阵的概念,具体如下。

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HWM|  楼主 | 2018-4-25 20:05 | 只看该作者
矩阵表示

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HWM|  楼主 | 2018-4-25 20:07 | 只看该作者
看到了《线性代数》的威力了吧。

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HWM|  楼主 | 2018-4-25 20:12 | 只看该作者
这里,给出了离散傅里叶变换的基本关系和算法。按此就可以进行傅里叶变换的数值计算。不过,要进行高效的数值计算还得对算法进行优化,譬如FFT。

关于FFT,将在其它相关课程的梳理中再作具体论述。

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HWM|  楼主 | 2018-4-28 12:06 | 只看该作者
四)拉普拉斯变换


前面说了傅里叶变换,知道有许多极为常用的函数(信号)不存在经典(或古典)意义下的傅里叶变换,一定要做傅里叶变换那必将涉及到广义函数(相关变换称为广义傅里叶变换)。由于广义函数的基础理论涉及到一些比较专业的数学基础理论,且不具备通常所见的那些很好的解析分析特性,所以理论和技术上都不提倡使用。那么,有什么方法可以绕过“广义函数”,让变换后的函数还在具备好的解析分析特性的范畴内呢?有,那就是拉普拉斯变换。

下面先看看拉普拉斯变换的定义和其与傅里叶变换的关系。

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HWM|  楼主 | 2018-4-28 12:11 | 只看该作者
拉普拉斯变换定义

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HWM|  楼主 | 2018-4-28 12:24 | 只看该作者
从上面拉普拉斯变换的定义可知,其实就是将函数乘上一个指数因子再作傅里叶变换。由于存在这么一个指数因子,使得“傅里叶变换”得以收敛,回到经典。

因加入了一个指数因子相关的数a(实数),其与原来的虚数iω结合构成了复数s,所以拉普拉斯变换也是复数平面上的一种变换。

那么加入了那个指数因子后的具体表现如何呢?下面看一个例子。

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HWM|  楼主 | 2018-4-28 12:27 | 只看该作者
下面的例子是两个不同函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换。

先看傅里叶变换。

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HWM|  楼主 | 2018-4-28 12:30 | 只看该作者
傅里叶变换

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