几个常用的变换简介

2万 · 2018-4-28 12:32

根据前面拉普拉斯的定义，再给出相应的拉普拉斯变换，如下。

2万 · 2018-4-28 12:33

拉普拉斯变换

2万 · 2018-4-28 12:48

由于此例是一个有限区间内非零的函数，这两个变换都存在（经典意义下）。注意其拉普拉斯变换的变量s，这个变换后的函数在整个除去0外的所有区域内都存在，即其定义域为C-{0}（C表示复数域）。并且特别注意这两个函数变换后所得“解析式子”是不一样的。

下面令X趋于无穷大，这样就变成了阶跃函数。下面看看相关的拉普拉斯变换。

2万 · 2018-4-28 12:52

阶跃函数的拉普拉斯变换

2万 · 2018-4-28 13:00

注意上面的红字部分。取极限后，解析式子中的差异消失了，其差异性转到了收敛区域（ROC）的不同上。显然，不同区域相应函数的收敛性不同，在收敛区域内等式成立，反之不成立。

看看下图，直观感受一下相关的收敛域（ROC）。

2万 · 2018-4-28 13:04

收敛区域（ROC）

2万 · 2018-4-28 13:20

收敛域（ROC）在拉普拉斯变换中起着重要的作用，其决定了拉普拉斯反变换中复变函数的积分路径，而由此也确定了相关的原像函数。

拉普拉斯变换后所得“解析函数”中缺失的信息，转到了拉普拉斯变换的收敛域上。

注意，下面的关系

在上例中，这些式子是成立的

F(s)=L[f(x)]

其中“L[f(x)]”表示拉普拉斯积分变换

而下式是不成立的

F(s) = 1/s
或
L[f(x)] = 1/s

必须写成

F(s) = 1/s (Re{s}>0)
或
L[f(x)] = 1/s (Re{s}>0)

2万 · 2018-4-28 13:30

到此，所说的都是全区域的拉普拉斯变换，也称双边拉普拉斯变换。

由于指数因子只在一个方向上具有指数衰减特性，如果限制函数（或信号）只出现在单边上，那么拉普拉斯变换将有更好的性质，而通常的时域函数（信号）就可以如此处理。

下面先看单边拉普拉斯变换定义。

2万 · 2018-4-28 13:33

单边拉普拉斯变换

2万 · 2018-4-28 13:36

注意上面的单边拉普拉斯变换存在定理，其说明了拉普拉斯变换的适应性和其所得函数的解析分析特性。

下面看看拉普拉斯变换的几个性质和定理。

2万 · 2018-4-28 13:39

性质和定理

2万 · 2018-4-29 07:12

性质和定理续

2万 · 2018-4-29 07:13

给几个常用的拉普拉斯变换对，注意其等式右面的有理式子以及相关的收敛域（ROC）。

2万 · 2018-4-29 07:14

常用的拉普拉斯变换对

只看该作者 · 2018-5-1 18:13

辛苦了。

2万 · 2018-5-2 12:39

五）Z变换

前面已经介绍了拉普拉斯变换。对于离散时空的函数（或信号），也介绍过了其傅里叶变换的数值计算基本方法——离散傅里叶变换。那么，理论上有价值的离散时空变换是什么呢？Z变换就是一种。

Z变换，其实就是离散时空下的拉普拉斯变换，其在离散分析中的差分方程分析和求解方法中发挥着重要的作用。

2万 · 2018-5-2 12:44

Z变换

2万 · 2018-5-2 12:58

由上述Z变换的定义可以看出，Z变换是离散时空（n）到复平面（Z）上的变换。变换所得是一个复变量整数幂函数级数，其有很好的分析性质。而正是如此，才使得离散时空信号分析有了一个非常有效的强大工具。

2万 · 2018-5-2 13:02

下面看两个例子，具体了解一下Z变换后的复变函数及其收敛域。

先看有限区间非零的情况。

2万 · 2018-5-4 21:58

有限区间非零

几个常用的变换简介

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