正本清源——齐次性

2万 · 2018-4-26 16:22

齐次性特指如下形式

f(aX1,aX2,...,aXn)=(a^k)f(X1,X2,...,Xn)

其中X1,X2,...,Xn为某空间中的元素，而a是F域中的数，k为正整数。

称此为k次齐次。

通常我们说的齐次性是指k=1，即

f(aX1,aX2,...,aXn)=a f(X1,X2,...,Xn)

此也称线性齐次。

2万 · 2018-4-26 16:27

对于某些场合

譬如

f(aX1,aX2,...,aXn)=|a| f(X1,X2,...,Xn)

会用诸如“绝对齐次性”或“正值齐次性”来类比称呼，但由前面的定义可见，显然意义不同。

2万 · 2018-4-26 16:34

除此之外，还有取分数指数的。

譬如

f(aX1,aX2,...,aXn)=(a^(1/k))f(X1,X2,...,Xn)

这显然会涉及到多值，而通常也仅考虑“绝对”或“正值”。所以，就是不考虑函数的严谨定义，那个“齐次性”也有别于前面的定义。

2万 · 2018-4-26 16:38

所以说，严格意义上说，一次齐次就是下式所示

f(aX1,aX2,...,aXn)=a f(X1,X2,...,Xn)

即线性齐次。

2万 · 2018-4-26 17:00

这里有必要提一类特别的，附加说明一下

那就是原本是线性齐次的

f(aX1,aX2,...,aXn)=a f(X1,X2,...,Xn)

然而采用了下面形式

f((aX1)^k,(aX2)^k,...,(aXn)^k)^(1/k)=(a^k)^(1/k) f(X1^k,X2^k,...,Xn^k)^(1/k)

注意，这也是多值的。通常还是取“绝对”或“正值”。

正本清源——齐次性

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