常微分方程的“动力系统”（相空间）分析简介

2万 · 2018-12-7 14:39

在“剖析《高等数学》”中，曾经介绍过常微分方程，详见

https://bbs.21ic.com/icview-438759-1-1.html

此帖将给出常微分方程的“动力系统”（相空间）分析简单介绍，这些基础知识将在电路分析和模拟电路相关的内容中使用到。

相关深层次知识和应用，将在相关专题论述中阐述。

2万 · 2018-12-8 22:32

常微分方程理论是数学的一个重要分支，其也是相关科学技术的基本工具之一。这一理论研究的是具有确定性、有限维和可微的各种类型的演化过程。

这里有必要对所谓的“确定性、有限维和可微”作个简要说明：

1）确定性

所谓“确定性”，就是由当前状态可以确定系统的整个未来和过去的状态及其演化过程。如此，系统的状态是一个极为重要的变量，而所有可能状态所构成的集合被称为相空间。

2）有限维

所谓“有限维”，就是系统的状态空间（相空间）维数有限，这其实意味着系统是个“集总参数”系统。质点（或刚体）力学和电路理论都是集总参数系统。

3）可微

所谓“可微”，就是相空间具有可微流形的结构。可微是数学分析的前提基础。

既然提到了“确定性、有限维和可微”，那么是否存在“非确定、无限维和不可微”呢？下面对此也作个简单说明：

自从统计力学和量子力学的出现，就知道统计力学是半确定的，而量子力学则是不确定的。统计力学和量子力学都是在统计意义上建立了其确定的理论体系，但其所研究的具体物理现象个例却是半确定或不确定的。

对于一个空间连续参数分布的系统，其不具备有限维状态空间（相空间），甚至是无限不可列维空间。电磁学、弹性力学和流体力学等都是无限维状态空间问题，相关问题通常涉及到偏微分方程理论工具。

可微仅是数学中的一类研究对象，数学中存在多种不可微问题。好在，通常物理过程被认为是可微的，但这不等于不可微在逻辑上不成立，譬如理想界面和激波等。

2万 · 2018-12-8 22:32

下面给出相空间相关分析的基本概念之一。

2万 · 2018-12-8 22:33

基本概念（一）

2万 · 2018-12-8 22:34

在相空间中，还可以有相关的“速度”概念。

2万 · 2018-12-8 22:35

基本概念（一）续

2万 · 2018-12-9 19:08

相空间相关分析的基本概念之二

前面，给出了相空间相关分析的一些基本概念术语，其将在后续的论述中用到。

下面，将进入到常微分方程及其解的相关基本概念。

从相空间分析角度看，常微分方程理论所研究的是相空间或流形（流形可粗略地理解为欧氏空间上的开集）上的单参数（微分同胚）变换群和其上的（速度）向量场以及其之间的关系。

下面先看看常微分方程。

2万 · 2018-12-9 19:11

常微分方程

2万 · 2018-12-9 19:22

上面给出了常微分方程的相关概念，下面看常微分方程的解。

2万 · 2018-12-9 19:24

常微分方程的解

2万 · 2018-12-9 19:24

自治方程自然是相空间分析的对象，下面看看非自治方程和通常所见的常微分方程。

2万 · 2018-12-9 19:26

非自治方程

2万 · 2018-12-12 13:52

相空间相关分析的基本概念之三

前面已经给出了常微分方程及其解的相关概念。下面将就解的稳定性相关概念给出一些基本的说明。

2万 · 2018-12-12 13:55

概述

2万 · 2018-12-12 13:57

下面给出稳定性相关的定义。先看解的稳定性。

2万 · 2018-12-12 13:58

稳定性概念

2万 · 2018-12-12 13:59

下面看看平衡点的稳定性概念。

2万 · 2018-12-12 14:00

稳定性概念（续）

2万 · 2018-12-12 14:11

上面给出了常微分方程的解和平衡点的稳定性概念。因平衡点（也称奇点）在常微分方程的“动力系统”（相空间）分析中的重要地位，而且相空间中平衡点相关领域形态类型及其相关特性的复杂多样性，这里先给出一些基本的类型从中可以得到一些直观的认识。

2万 · 2018-12-12 14:13

平衡点基本类型图示

常微分方程的“动力系统”（相空间）分析简介

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